Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD.BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA = 100 m, chiều rộng OD = 60 m và tọa độ điểm B(10; 10; 8). Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) bằng bao nhiêu mét (kết quả viết dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần chục)?
Xác định tọa độ điểm G.
Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) bằng cách sử dụng tích có hướng của hai vecto, từ đó lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (OBED).
Áp dụng biểu thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
\(\overrightarrow {OB} = (10;10;8)\), \(\overrightarrow {OD} = (0;60;0)\).
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là \(\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OD} } \right] = ( - 480;0;600)\).
Khi đó \(\overrightarrow n = \frac{1}{{120}}.\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OD} } \right] = ( - 4;0;5)\) cũng là một vecto pháp tuyến của (OBED).
(OBED) đi qua O(0; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = ( - 4;0;5)\) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:
\( - 4(x - 0) + 0(y - 0) + 5(z - 0) = 0\)
\(\Leftrightarrow - 4x + 5z = 0\).
Khoảng cách từ G(100; 60; 0) đến mặt phẳng (OBED) là:
\(d\left( {G,(OBED)} \right) = \frac{{\left| { - 4.100 + 0.60 + 5.0} \right|}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {5^2}} }} \approx 62,5\) (m).
Cách lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C.
Để lập phương trình mặt phẳng (P), ta thực hiện:
Bước 1: Tìm vecto pháp tuyến của (P) bằng cách tính tích có hướng: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{AB}} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A (hoặc B), nhận \(\overrightarrow {{n_P}} \) làm vecto pháp tuyến.
Cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (với \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\)).
Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến (P) được tính bằng công thức:
\(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Danh sách bình luận