Đề bài

Một bình chứa nước dạng như Hình bên có chiều cao là \(\frac{{3\pi }}{2}\) dm. Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là x (dm) thì mặt nước là hình tròn có bán kính \(\sqrt {2 - \sin x} \) (dm) với \(0 \le x \le \frac{{3\pi }}{2}\). Tính dung tích của bình (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối).

Phương pháp giải

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x; a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Diện tích mặt nước hình tròn bán kính \(R = \sqrt {2 - \sin x} \) là:

\(S(x) = \pi {R^2} = \pi {\left( {\sqrt {2 - \sin x} } \right)^2} \)

\(= \pi \left( {2 - \sin x} \right)\) \((d{m^2})\).

Dung tích của bình là:

\(V = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {S(x)dx}  = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\pi \left( {2 - \sin x} \right)dx}\)

\(  = \pi \left( {2x + \cos x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{{3\pi }}{2}}}\\{_0}\end{array}} \right. = \pi \left( {3\pi  - 1} \right) \approx 26,5\) \((d{m^3})\).