Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng (P): ax + by + cz − 14 = 0 đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức S = 2a + 3b − 4c.
Đáp án:
Đáp án:
Chứng minh \(OM \bot (P)\) và \(\overrightarrow {OM} \) là một vecto pháp tuyến của (P). Từ đó viết phương trình tổng quát của (P).
Lấy \(I \in AB\) sao cho \(CI \bot AB\). Khi đó, CI là đường cao của tam giác ABC và trực tâm M thuộc CI.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot (OAB) \Rightarrow OC \bot AB\\CI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (OCI) \Rightarrow AB \bot OM\) (vì OM thuộc (OCI)) (1)
Gọi E là giao điểm của BM và AC. Khi đó \(BE \bot AC\) vì M là trực tâm tam giác ABC.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\\OB \bot (OAC) \Rightarrow OB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (OBE) \Rightarrow AC \bot OM\) (vì OM thuộc (OBE)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OM \bot (ABC)\) hay \(OM \bot (P)\).
Do đó, \(\overrightarrow {OM} = (1;2;3)\) là một vecto pháp tuyến của (P).
Mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và nhận \(\overrightarrow {OM} = (1;2;3)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình:
\(1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\).
Vậy S = 2a + 3b – 4c = 2.1 + 3.2 – 4.3 = -4.
Danh sách bình luận