Đề bài

Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một đoạn đường hầm bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích \(({m^3})\) khối bê tông để đổ đủ đoạn đường hầm, biết đường cong trong hình vẽ là các đường parabol.

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân, tính diện tích mặt cắt khối bê tông.

Áp dụng công thức tính thể tích: V = Sh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi parabol giới hạn mặt cắt của khối bê tông lần lượt là (P) và (Q). Giả sử (P) là parabol nằm phía trên.

(P) đi qua điểm có tọa độ (10;0) và tọa độ đỉnh là (0;2,5) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.10^2} + b.10 + c\\\frac{5}{2} = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{5}{2}\\b = 0\\100a + 10b =  - 2,5\end{array} \right. \Rightarrow (P):y =  - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2} = 0\).

(Q) đi qua điểm có tọa độ (9,5;0) và tọa độ đỉnh là (0;2) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + b.\frac{{19}}{2} + c\\2 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b = 0\\\frac{{361}}{4}a + \frac{{19}}{2}b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow (Q):y =  - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2 = 0\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành là:

\({S_P} = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)dx}  = \frac{{100}}{3}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Q) và trục hoành là:

\({S_Q} = \int\limits_{ - 9,5}^{9,5} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)dx}  = \frac{{76}}{3}\).

Diện tích mặt cắt khối bê tông là:

\(S = {S_P} - {S_Q} = \frac{{100}}{3} - \frac{{76}}{3} = 8\) \(({m^2})\).

Thể tích khối bê tông là:

\(V = Sh = 8.5 = 40\) \(({m^3})\).