Tại một lễ hội dân gian hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số \(Q(t) = 8{t^3} - 144{t^2} + 576t\), trong đó t tính bằng giờ \((0 \le t \le 14)\), Q’(t) tính bằng khách/giờ. Sau 1 giờ đã có 300 người có mặt. Hỏi số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm nguyên hàm Q(t) của Q’(t) và tìm giá trị lớn nhất của Q(t) trên đoạn [0;14].
Hàm số biểu diễn số lượng khách sau t giờ là:
\(Q(t) = \int {Q'(t)dt} = \int {\left( {8{t^3} - 144{t^2} + 576t} \right)dt} = 8.\frac{{{t^4}}}{4} - 144.\frac{{{t^3}}}{3} + 576.\frac{{{t^2}}}{2} + C = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + C\).
Vì sau 1 giờ có 300 người có mặt nên \(Q(1) = 300 \Leftrightarrow {2.1^4} - {48.1^3} + {288.1^2} + C = 300 \Leftrightarrow C = 58\).
Suy ra \(Q(t) = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + 58\).
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của Q(t) trên đoạn [0;14].
Xét \(Q'(t) = 0 \Leftrightarrow 8{t^3} - 144{t^2} + 576t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 12\\t = 6\\t = 0\end{array} \right.\).
Ta có: \(Q(0) = 58\); \(Q(6) = 2650\); \(Q(12) = 58\); \(Q(14) = 1626\).
Do đó Q(6) = 2650 là giá trị lớn nhất của \(Q(t) = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + 58\) trên đoạn [0;14].
Như vậy số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là 2650.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Tìm:
a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\);
b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\);
c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\);
d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
Bài 2 :
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\);
b) \(y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).
Bài 3 :
Tìm:
a) \(\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx} \)
b) \(\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} \)
c) \(\int {{2^{3x}}dx} \)
d) \(\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx} \)
Bài 4 :
Cho hàm số \(f(x) = 2x + {e^x}\). Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023 là:
A. \({x^2} + {e^x} + 2023\)
B. \({x^2} + {e^x} + C\)
C. \({x^2} + {e^x} + 2022\)
D. \({x^2} + {e^x}\)
Bài 5 :
a) Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}\). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023
b) Cho hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng \((0; + \infty )\) sao cho G(1) = 2023
Bài 6 :
Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\).
Bài 7 :
Tìm
a) \(\int {{x^5}dx} \)
b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)
c) \(\int {{7^x}dx} \)
d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx} \)
Bài 8 :
Tìm
a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)
b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)
c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} \)
d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)
Bài 9 :
Tìm
a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)
b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)
c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)
d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)
Bài 10 :
Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).
a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
Bài 11 :
Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \({v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Bài 12 :
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C} \)
C. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C\)
D. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)
Bài 13 :
Tìm:
a) \(\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx} \)
b) \(\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx} \)
c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)
d) \(\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx} \)
e) \(\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx} \)
g) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)
Bài 14 :
Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Bài 15 :
Cho \(f\left( x \right) = {x^2}\ln x\) và \(g\left( x \right) = x\ln x\). Tính \(f'\left( x \right)\) và \(\int {g\left( x \right)dx} \).
Bài 16 :
Tìm:
a) \(\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx\); b) \(\int {\left( {3\sqrt x - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx\).
Bài 17 :
Tìm:
a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\);
b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).
Bài 18 :
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).
Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau t = 3 giây.
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Bài 19 :
Cho \(F\left( u \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( u \right)\) trên khoảng \(K\) và \(u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}\), là hàm số có đạo hàm liên tục, \(u\left( x \right) \in K\) với mọi \({\rm{x}} \in {\rm{J}}\). Tìm \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx\).
Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) và \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).
Bài 20 :
Tìm:
a) \(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx\);
b) \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx\).
Bài 21 :
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);
b) \(y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5\).
Bài 22 :
a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \);
b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \)
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \).
Bài 23 :
Hàm số \(y = \log x\) là nguyên hàm của hàm số:
A. \(y = \frac{1}{x}\).
B. \(y = \frac{1}{{x\ln 10}}\).
C. \(y = \frac{{\ln 10}}{x}\).
D. \(y = \frac{1}{{x\log 10}}\).
Bài 24 :
Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\).
a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{x^3}dx} - \int {3{{\rm{x}}^2}dx} \).
b) \(f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\).
c) \(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}\).
d) \(\int {f\left( x \right)dx} = {x^4} + {x^3} + C\).
Bài 25 :
Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\).
a) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin xdx} + \int {\cos xdx} \).
b) \(f'\left( x \right) = \cos x - \sin x\).
c) \(f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x\).
d) \(\int {f\left( x \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).
Bài 26 :
Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\).
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2\).
b) \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3\).
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx} \).
d) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C\).
Bài 27 :
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 2\sin x\);
b) \(f\left( x \right) = \cos x + {x^3}\);
c) \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x\).
Bài 28 :
Tìm:
a) \(\int {{2^x}\ln 2dx} \);
b) \(\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \);
c) \(\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \).
Bài 29 :
Tìm \(\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx} \) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Bài 30 :
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}\).
a) \(f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} - \int {\frac{8}{x}dx} \).
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} + \int {\frac{8}{x}dx} \).
d) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|\).
Danh sách bình luận