Đề bài

Tại một lễ hội dân gian hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số $Q(t) = 8{t^3} - 144{t^2} + 576t$ , trong đó t tính bằng giờ $(0 \le t \le 14)$ , Q’(t) tính bằng khách/giờ. Sau 1 giờ đã có 300 người có mặt. Hỏi số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tìm nguyên hàm Q(t) của Q’(t) và tìm giá trị lớn nhất của Q(t) trên đoạn [0;14].

Hàm số biểu diễn số lượng khách sau t giờ là:

$Q(t) = \int {Q'(t)dt} = \int {\left( {8{t^3} - 144{t^2} + 576t} \right)dt} = 8.\frac{{{t^4}}}{4} - 144.\frac{{{t^3}}}{3} + 576.\frac{{{t^2}}}{2} + C = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + C$ .

Vì sau 1 giờ có 300 người có mặt nên $Q(1) = 300 \Leftrightarrow {2.1^4} - {48.1^3} + {288.1^2} + C = 300 \Leftrightarrow C = 58$ .

Suy ra $Q(t) = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + 58$ .

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của Q(t) trên đoạn [0;14].

Xét $Q'(t) = 0 \Leftrightarrow 8{t^3} - 144{t^2} + 576t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 12\\t = 6\\t = 0\end{array} \right.$ .

Ta có: $Q(0) = 58$ ; $Q(6) = 2650$ ; $Q(12) = 58$ ; $Q(14) = 1626$ .

Do đó Q(6) = 2650 là giá trị lớn nhất của $Q(t) = 2{t^4} - 48{t^3} + 288{t^2} + 58$ trên đoạn [0;14].

Như vậy số lượng khách tham dự đông nhất trong vòng 14 giờ là 2650.

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm:

a) $\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx$ ;

b) $\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)$ ;

c) $\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx$ ;

d) $\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx$ .

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {2^x} - \frac{1}{x}$ ;

b) $y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Tìm:

a) $\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx}$

b) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx}$

c) $\int {{2^{3x}}dx}$

d) $\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx}$

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hàm số $f(x) = 2x + {e^x}$ . Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023 là:

A. ${x^2} + {e^x} + 2023$

B. ${x^2} + {e^x} + C$

C. ${x^2} + {e^x} + 2022$

D. ${x^2} + {e^x}$

Xem lời giải >>

Bài 5 :

a) Cho hàm số $f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}$ . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số $g(x) = \frac{1}{x}$ . Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng $(0; + \infty )$ sao cho G(1) = 2023

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Tính đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = x{e^x}$ , suy ra nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ .

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tìm

a) $\int {{x^5}dx}$

b) $\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx}$ $\left( {x > 0} \right)$

c) $\int {{7^x}dx}$

d) $\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx}$

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tìm

a) $\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx}$

b) $\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx}$

c) $\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx}$

d) $\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tìm

a) $\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx}$

b) $\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx}$

c) $\int {{{\tan }^2}xdx}$

d) $\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx$

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Kí hiệu $h\left( x \right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ $h'\left( x \right) = \frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $\left( {1 \le x \le 11} \right)$ .

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ ${v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$ . Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$
B. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C}$
C. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C$
D. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C$

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Tìm:

a) $\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx}$

b) $\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx}$

c) $\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx}$

d) $\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx}$

e) $\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx}$

g) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx}$

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tính đạo hàm của $F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$ . Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ .

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho $f\left( x \right) = {x^2}\ln x$ và $g\left( x \right) = x\ln x$ . Tính $f'\left( x \right)$ và $\int {g\left( x \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tìm:

a) $\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx$ ; b) $\int {\left( {3\sqrt x - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx$ .

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Tìm:

a) $\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx$ ;

b) $\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx$ .

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây.

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho $F\left( u \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( u \right)$ trên khoảng $K$ và $u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}$ , là hàm số có đạo hàm liên tục, $u\left( x \right) \in K$ với mọi ${\rm{x}} \in {\rm{J}}$ . Tìm $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \cdot u'\left( x \right)dx$ .

Áp dụng: Tìm $\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx}$ và $\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}$ .

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Tìm:

a) $\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx$ ;

b) $\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx$ .

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\sin ^2}\frac{x}{2}$ ;

b) $y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5$ .

Xem lời giải >>

Bài 22 :

a) $\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx}$ ;

b) $\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx}$

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Hàm số $y = \log x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $y = \frac{1}{x}$ .

B. $y = \frac{1}{{x\ln 10}}$ .

C. $y = \frac{{\ln 10}}{x}$ .

D. $y = \frac{1}{{x\log 10}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}$ .

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{x^3}dx} - \int {3{{\rm{x}}^2}dx}$ .

b) $f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}$ .

c) $f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = {x^4} + {x^3} + C$ .

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ .

a) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin xdx} + \int {\cos xdx}$ .

b) $f'\left( x \right) = \cos x - \sin x$ .

c) $f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = - \cos x + \sin x + C$ .

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)$ .

a) $f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2$ .

b) $f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3$ .

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx}$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C$ .

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = 2\sin x$ ;

b) $f\left( x \right) = \cos x + {x^3}$ ;

c) $f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x$ .

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Tìm:

a) $\int {{2^x}\ln 2dx}$ ;

b) $\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx}$ ;

c) $\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Tìm $\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}$ .

a) $f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}$ .

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} - \int {\frac{8}{x}dx}$ .

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^6}dx} + \int {\frac{8}{x}dx}$ .

d) $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|$ .

Xem lời giải >>