Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x − my + 1 = 0 và (Q): 5y + 12z + 3 = 0.

a) Tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.

Đúng

Sai

b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi m = 0.

Đúng

Sai

c) Với m = 4 thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) gần bằng \(42,{4^o}\).

Đúng

Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng \({60^o}\) khi và chỉ khi \(m =  \pm \frac{{39}}{{\sqrt {407} }}\).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Tồn tại giá trị m để hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.

Đúng

Sai

b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi m = 0.

Đúng

Sai

c) Với m = 4 thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) gần bằng \(42,{4^o}\).

Đúng

Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng \({60^o}\) khi và chỉ khi \(m =  \pm \frac{{39}}{{\sqrt {407} }}\).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Xác định vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng và áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.

a) Sai. \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (3; - m;0)\) và \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (0;5;12)\).

Để (P) // (Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = k\overrightarrow {{n_{(Q)}}}  \Leftrightarrow (3; - m;0) = k(0;5;12)\), mà không có giá trị k nào thỏa mãn.

Vậy không có giá trị k nào để (P) // (Q).

b) Đúng. Để \((P) \bot (Q) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}}  = 0 \Leftrightarrow 3.0 - m.5 + 0.12 = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

c) Sai. \(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {3.0 - m.5 + 0.12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - m)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {5^2} + {{12}^2}} }}\)

\( = \frac{{\left| {3.0 - 4.5 + 0.12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{20}}{{5.13}} = \frac{4}{{13}}\).

\( \Rightarrow \cos \left( {(P),(Q)} \right) \approx 72,{08^o}\).

d) Sai. \(\cos {60^o} = \frac{{\left| {3.0 - m.5 + 0.12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - m)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {5^2} + {{12}^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {5m} \right|}}{{13\sqrt {{m^2} + 9} }}\)

\( \Leftrightarrow 13\sqrt {{m^2} + 9}  = 10\left| m \right| \Leftrightarrow 169\left( {{m^2} + 9} \right) = 100{m^2} \Leftrightarrow 69{m^2} =  - 1521\) (vô nghiệm).