Cho hình phẳng được tô trong hình bên.
a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \(\frac{1}{3}\).
c) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} \).
d) Thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): \(y = {x^2}\); (C): \(y = \sqrt x \) quanh trục Oy bằng \(\frac{{3\pi }}{{10}}\).
a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \(\frac{1}{3}\).
c) Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là \(\pi \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} \).
d) Thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): \(y = {x^2}\); (C): \(y = \sqrt x \) quanh trục Oy bằng \(\frac{{3\pi }}{{10}}\).
Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số liên tục trên [a;b] y = f(x), y = g(x), đường thẳng x = a, x = b.
a) Quan sát đồ thị và nhận xét.
b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
c) Áp dụng công thức tính thể tích vật thể quay quanh trục Ox \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
d) Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số liên tục trên [a;b] x = f(y), x = g(y), đường thẳng y = a, y = b.
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể quay quanh trục Oy \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|dx} \).
a) Đúng. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2}\); \(y = \sqrt x \).
b) Đúng. Quan sát khoảng (0;1), thấy đồ thị \(y = \sqrt x \) nằm phía trên đồ thị \(y = {x^2}\).
Do đó, trong khoảng (0;1) ta có \(\sqrt x > {x^2}\).
Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)dx} = \left( {\frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array} = \frac{2}{3}{{.1}^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{1^3}}}{3}} \right. = \frac{1}{3}\).
c) Sai. Thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox là:
\({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {x - {x^4}} \right]dx} \).
d) Đúng. Vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng \(x = \sqrt y \) và \(x = {y^2}\) quanh trục Oy.
Quan sát đồ thị, ta thấy trong khoảng giá trị (0;1) của y, giá trị x của hàm số \(x = \sqrt y \) lớn hơn giá trị x của hàm số \(x = {y^2}\). Do đó \(\sqrt y > {y^2}\).
Thể tích của vật đó là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {y - {y^4}} \right]dx} = \frac{{3\pi }}{{10}}\).
Danh sách bình luận