Đề bài

Một hộp đựng bóng bàn có dạng hình trụ chứa vừa khít ba quả bóng bàn có cùng bán kính R xếp theo chiều ngang như hình dưới đây. Gọi \({S_1}\) là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, \({S_2}\) là diện tích xung quanh của vỏ hộp hình trụ. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Phương pháp giải

+ Tổng diện tích ba quả bóng bàn \({S_1} = 3.4\pi {R^2}\).

+ Tính chiều cao hình hộp \(h = 3.2R = 6R\).

+ Tính diện tích xung quanh của vỏ hộp hình trụ: \({S_2} = 2\pi Rh\).

+ Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tổng diện tích của ba quả bóng bàn là

\({S_1} = 3.4\pi {R^2} = 12\pi {R^2}\left( {c{m^2}} \right)\).

Chiều cao của hộp hình trụ là: \(h = 3.2R = 6R\).

Diện tích xung quanh của vỏ hộp hình trụ là:

\({S_2} = 2\pi Rh = 2\pi R.6R = 12\pi {R^2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{12\pi {R^2}}}{{12\pi {R^2}}} = 1\).

Mở rộng

Lý thuyết liên quan

• Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\). R là bán kính mặt cầu.
• Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi Rh\). Trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao.

Cách ứng dụng của lý thuyết trong bài này:

Trong bài toán này, chúng ta có ba quả bóng bàn dạng hình cầu có cùng bán kính R, được chứa vừa khít trong một hộp hình trụ.

• Tổng diện tích của ba quả bóng bàn (\({S_1}\)) được tính bằng cách lấy diện tích của một quả bóng bàn nhân với 3. Diện tích mặt cầu của một quả bóng bàn với bán kính R là \(4\pi {R^2}\). Do đó, tổng diện tích của ba quả bóng bàn là \({S_1} = 3 \times (4\pi {R^2}) = 12\pi {R^2}\).
• Diện tích xung quanh của vỏ hộp hình trụ (\({S_2})\) được tính bằng công thức \({S_{xq}} = 2\pi Rh\).
  • Khi ba quả bóng bàn bán kính R xếp vừa khít theo chiều ngang trong hộp hình trụ, bán kính đáy của hình trụ sẽ bằng bán kính của quả bóng bàn, tức là R.
  • Chiều cao của hộp hình trụ (h) khi chứa vừa khít ba quả bóng bàn xếp chồng lên nhau theo chiều ngang sẽ bằng tổng đường kính của ba quả bóng bàn. Đường kính của một quả bóng bàn là 2R. Vậy, chiều cao của hộp hình trụ là \(h = 3 \times (2R) = 6R\).
  • Thay bán kính đáy R và chiều cao \(h=6R\) vào công thức diện tích xung quanh hình trụ, ta có \({S_2} = 2\pi R(6R) = 12\pi {R^2}\).
• Cuối cùng, tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) được tính bằng cách chia tổng diện tích ba quả bóng bàn cho diện tích xung quanh của hộp hình trụ. Từ các công thức trên, \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{12\pi {R^2}}{12\pi {R^2}}\).