Đề bài

Một khối gỗ gồm một hình cầu (C) bán kính R và một hình nón (N) có bán kính đường tròn đáy và đường sinh lần lượt là r (cm), l (cm) thoả mãn 2R = l và 2l = 3r. Biết tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm². Tính diện tích của mặt cầu (C) (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải

Dựa vào: Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ 2R = l và 2l = 3r, suy ra \(R = \frac{l}{2},r = \frac{{2l}}{3}.\)

Diện tích mặt cầu (C) là:

\(4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = 4\pi .\frac{l}{4} = \pi {l^2}\).

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

\(\pi rl + \pi {r^2} = \pi .\frac{{2l}}{3}.l + \pi .{\left( {\frac{{2l}}{3}} \right)^2} \)

\(= \frac{2}{3}\pi {l^2} + \frac{4}{9}\pi {l^2} = \frac{{10\pi {l^2}}}{9}\).

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm² nên:

\(\pi {l^2} + \frac{{10\pi {l^2}}}{9} = 171\pi \) hay 9πl² = 171π.9

Suy ra l² = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là: 

\(R = \frac{l}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\) (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR² = 4π.(4,5)² = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm²).