Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD,$ đường cao $SO.$ Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng chứa $SO,$ thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng $a,$ tính thể tích khối chóp đã cho.

• A. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.$          
• B. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$          
• C. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$
• D. $\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.$

Phương pháp giải

Diện tích thiết diện lớn nhất đạt được khi giao tuyến của nó với đáy chính là đường chéo của hình vuông.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa $SO,$ cắt mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến là đường thẳng \(MN\) với \(M,N\) thuộc các cạnh của hình vuông \(ABCD\).

Không mất tính tổng quát ta giả sử \(MN\) như hình vẽ.

Ta có : \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SO.MN \le \dfrac{1}{2}SO.AC = {S_{SAC}} = const\)

Do đó \({S_{SMN}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({S_{SAC}}\) khi \(MN = AC=BD\).

Mà tam giác $SMN $ đều cạnh $a$ nên $AC=BD=a$

\(\Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) và \(SO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Đáp án : D

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì tính nhầm diện tích hình vuông $ABCD$ bằng $AC.BD=a^2$ là sai.