Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) ( tham khảo hình bên), biết \(AB = a,AD = b\). Cạnh \(DC\) được chia thành \(n\) đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \({C_1},{C_2},...,{C_{n - 1}}\), cạnh \(AD\) cũng được chia thành \(n\) đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \({D_1},{D_2},...,{D_{n - 1}}\). Gọi \({I_k}\) là giao điểm của đoạn \(A{C_k}\) với đường thẳng qua \({D_k}\) và song song với \(AB\). Biết rằng các điểm \({I_k},(k = 1,2,3,...,n - 1)\) nằm trên một parabol có đỉnh \(A\) và trục đối xứng là \(AB\). Tính tham số tiêu của parabol nói trên.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O\) trùng với điểm \(A\), \(AB\) nằm trên tia \(Ox\) và \(AD\) nằm trên tia \(Oy\).

Khi đó ta có phương trình đường thẳng qua \({D_k}\) và song song với \(AB\) là \(y = k.\frac{b}{n}\).

Tọa độ điểm \({C_k}\left( {k.\frac{a}{n};b} \right)\), suy ra phương trình đường \(A{C_k}\) là \(y = \frac{{bn}}{{ak}}x\).

Tọa độ điểm \({I_k}\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = k.\frac{b}{n}\\y = \frac{{bn}}{{ak}}x\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = a.\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\\y = k.\frac{b}{n}\end{array} \right. \Rightarrow {I_k}\left( {a.\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}};k.\frac{b}{n}} \right)\).

Giả sử \({I_k}\left( {{x_k};{y_k}} \right) \Rightarrow y_k^2 = \frac{{{b^2}}}{a}{x_k}.\) Suy ra điểm \({I_k}\) thuộc parabol có phương trình \({y^2} = \frac{{{b^2}}}{a}x\). Khi đó tham số tiêu của parabol nói trên bằng \(\frac{{{b^2}}}{{2a}}\).