Đề bài

Một cái cổng hình parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4 m, chiều rộng AB = 4 m, AC = BD = 0,9 m. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá trị là 1200000 đồng/\({m^3}\), còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/\({m^2}\). Hỏi tổng số tiền làm cổng parabol như trên (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị: triệu đồng) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, từ đó tìm ra hàm số có đồ thị giới hạn phần diện tích cần tìm. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Giả sử parabol (P) có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

(P) có đỉnh G(2;4) và đi qua điểm O(0;0) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.0^2} + b.0 + c\\4 = a{.2^2} + b.2 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = b\\c = 0\end{array} \right.\).

Vậy (P): \(y =  - {x^2} + 4x\).

Diện tích của cả cổng là \(S = \int\limits_0^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx}  = \left( { - \frac{{{x^2}}}{3} + 2{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{32}}{3}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Mặt khác, chiều cao \(CF = DF = f(4 - 0,9) = 2,79\) (m); CD  = 4 – AC – BD = 4 – 0,9 – 0,9 = 2,2 (m).

Diện tích hai cánh cổng là:

\({S_{CDEF}} = CD.EF = 2,2.2,79 = 6,138\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích phần xiên hoa là:

\({S_{xh}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6,138 = \frac{{6793}}{{1500}}\) \(\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy tổng số tiền để làm cổng là:

\(6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}.900000 = 11441400\) đồng \( \approx 11,4\) triệu đồng.