Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 40 km và về phía Nam 60 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 90 km và về phía Tây 50 km, đồng thời cách mặt đất 6 km. Chiếc máy bay thứ ba đang trong quá trình bay thì đột ngột mất tín hiệu, biết rằng lần cuối (trước khi mất tín hiệu) máy bay thứ nhất xác định được khoảng cách giữa máy bay thứ nhất và máy bay thứ ba là \(2\sqrt {3401} \) km và máy bay thứ ba nằm giữa máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng. Em hãy xác định khoảng cách từ vị trí xuất phát đến lúc máy bay số ba mất tín hiệu (đơn vị: km).
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.
Vì ba máy bay thẳng hàng nên ta áp dụng điều kiện của vecto cùng phương để giải bài toán.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo km (như hình vẽ).
Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ A(-60; -40; 3).
Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ B(90; 50; 6).
Gọi tọa độ của máy bay thứ ba lúc mất tín hiệu là C(a; b; c).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (150;90;3)\), \(\overrightarrow {AC} = (a + 60;b + 40;c - 3)\).
Do ba máy bay thẳng hàng và C nằm giữa A, B nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
Suy ra \(\frac{{a + 60}}{{150}} = \frac{{b + 40}}{{90}} = \frac{{c - 3}}{3} = t > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 60}}{{150}} = \frac{{b + 40}}{{90}}\\\frac{{b + 40}}{{90}} = \frac{{c - 3}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 60 = \frac{5}{3}\left( {b + 40} \right)\\c - 3 = \frac{{b + 40}}{{30}}\end{array} \right.\).
Ta có \(AC = \sqrt {{{\left( {a + 60} \right)}^2} + {{\left( {b + 40} \right)}^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt {3401} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{5}{3}\left( {b + 40} \right)} \right)}^2} + {{\left( {b + 40} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{b + 40}}{{30}}} \right)}^2}} = 2\sqrt {3401} \Leftrightarrow \frac{{3401}}{{900}}{\left( {b + 40} \right)^2} = 13604\)
\( \Leftrightarrow b + 40 = 60 \Leftrightarrow b = 20 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 40\\c = 5\end{array} \right. \Rightarrow C(40;20;5)\).
Vậy khoảng cách từ vị trí xuất phát đến máy bay số ba là: \(\sqrt {{{40}^2} + {{20}^2} + {5^2}} = 45\) km.
Các lý thuyết được sử dụng:
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
Chọn một hệ quy chiếu cố định để biểu diễn vị trí của các máy bay trong không gian ba chiều. Trong bài toán này, gốc tọa độ O được đặt tại điểm xuất phát của các máy bay. Mặt phẳng (Oxy) được chọn trùng với mặt đất. Các trục Ox, Oy, Oz được định hướng cụ thể: trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được quy ước là km.
Cách ứng dụng: Vị trí của mỗi máy bay được biểu diễn bằng một điểm có ba tọa độ (x; y; z) trong hệ trục này. Tọa độ x, y thể hiện vị trí trên mặt đất so với gốc O theo hướng Bắc-Nam và Đông-Tây, còn tọa độ z thể hiện độ cao so với mặt đất.
Ví dụ, máy bay thứ nhất ở phía Đông 40 km và phía Nam 60 km, cách mặt đất 3 km được biểu diễn bằng tọa độ A(-60; -40; 3) trong hệ trục đã chọn (lưu ý: Nam là hướng tia đối của tia Ox, Đông là hướng tia đối của tia Oy). Tương tự, máy bay thứ hai có tọa độ B(90; 50; 6).
2. Vectơ trong không gian và điều kiện ba điểm thẳng hàng:
Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm C nằm giữa hai điểm A và B, thì các vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) sẽ cùng phương và cùng hướng.
\(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) với k > 0.
3. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian Oxyz, ví dụ giữa điểm $P(x_1; y_1; z_1)$ và $Q(x_2; y_2; z_2)$, được tính bằng công thức $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.
Danh sách bình luận