Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M(-12;29;10) theo phương song song với giá của vecto \(\overrightarrow u ( - 12;17;5)\).
a) Trong hệ trục tọa độ đã cho thiên thạch di chuyển trên đường thẳng có phương tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 12 - 12t\\y = 29 + 17t\\z = 10 + 5t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A(12;-5;0).
c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là B(0;12;5).
d) Thiên thạch trên không va vào trái đất.
a) Trong hệ trục tọa độ đã cho thiên thạch di chuyển trên đường thẳng có phương tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 12 - 12t\\y = 29 + 17t\\z = 10 + 5t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).
b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A(12;-5;0).
c) Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là B(0;12;5).
d) Thiên thạch trên không va vào trái đất.
a) Đường thẳng có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
b, c, d) Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
\(AB = \sqrt {{{({x_A} - {x_B})}^2} + {{({y_A} - {y_B})}^2} + {{({z_A} - {z_B})}^2}} \).
a) Đúng. Thiên thạch di chuyển trên đường thẳng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u ( - 12;17;5)\) và đi qua điểm M(-12;29;10) nên phương trình đường thẳng đó là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 12 - 12t\\y = 29 + 17t\\z = 10 + 5t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).
b) Sai. Giả sử vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A.
Vì A thuộc đường thẳng thiên thạch di chuyển nên \(A( - 12 - 12t;29 + 17t;10 + 5t)\).
Ngoài thực tế khoảng cách từ tâm trái đất đến vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi
theo dõi của hệ thống quan sát là 6370 + 6630 = 13000 km ứng với 13 đơn vị trên hệ trục tọa độ.
Do đó \(OA = 13 \Leftrightarrow O{A^2} = 169\)
\( \Leftrightarrow {( - 12 - 12t)^2} + {(29 + 17t)^2} + {(10 + 5t)^2} = 169\)
\( \Leftrightarrow 144 + 288t + 114{t^2} + 841 + 986t + 289{t^2} + 100 + 100t + 25{t^2} = 169\)
\( \Leftrightarrow 458{t^2} + 1374t + 916 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 2\end{array} \right.\).
Với t = -1, ta có \({A_1}(0;12;5) \Rightarrow M{A_1} = \sqrt {{{( - 12)}^2} + {{17}^2} + {5^2}} = \sqrt {658} \).
Với t = 2, ta có \({A_2}(12; - 5;0) \Rightarrow M{A_2} = \sqrt {{{( - 24)}^2} + {{34}^2} + {{10}^2}} = 2\sqrt {458} \).
Do \(M{A_1} < M{A_2}\) nên vị trí đầu tiên là \(A \equiv {A_1}(0;12;5)\).
c) Sai. Từ ý b), ta có vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là \(B \equiv {A_2}(12; - 5;0)\).
d) Đúng. Ta có \(AB = \sqrt {{{12}^2} + {{17}^2} + {5^2}} = \sqrt {458} \).
Áp dụng định lí Pythagore, khoảng cách ngắn nhất từ tâm trái đất đến thiên thạch là \(d=\sqrt {{R^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}} = \sqrt {{{13}^2} - \frac{{458}}{4}} = \sqrt {\frac{{218}}{2}} \approx 7,38\).
Khi đó khoảng cách từ thiên thạch đến tâm trái đất khoảng 7380 km lớn hơn bán kính trái đất là 6370 km nên không va vào trái đất.
Danh sách bình luận