Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 6). Viết phương trình đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự \({V_{(O,3)}}\).

Phương pháp giải

- Tìm ảnh của tâm qua \({V_{(O,3)}}\) bằng cách: Nếu \({V_{(I,k)}}{\rm{[}}M(x,y){\rm{]}} = M'(x',y')\). Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' - a = k(x - a)\\y' - b = k(y - b)\end{array} \right.\) với \(I(a;b)\).

- Phương trình đường tròn tâm I (a,b), bán kính R là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ a}}} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ b}}} \right)^2}\; = {\rm{ }}{{\rm{R}}^2}.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi I là trung điểm của AB, ta có I(2; 4) là tâm của đường tròn đường kính AB với bán kính là \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \).

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự\({V_{(O,3)}}\) nên I' là ảnh của I qua phép vị tự \({V_{(O,3)}}\) và \(R' = 3R = \;3\sqrt 5 \).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {OI'}  = 3\overrightarrow {OI} \). Từ đó suy ra I'(6; 12).

Phương trình đường tròn (C) là \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}6} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}12} \right)^2}\; = \;{\left( {3\sqrt 5 } \right)^2}\) hay \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}6} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}12} \right)^2}\; = {\rm{ }}45.\)