Đề bài

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(5;0;0), B(3;4;0) và điểm C nằm trên trục Oz. Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Khi C di chuyển trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chứng minh H luôn nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc \({90^o}\).

Vì OA = OB = 5 nên tam giác OAB cân tại O.

Gọi C(0;0;c), E(4;2;0) là trung điểm của AB.

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OC\\AB \bot OE'\end{array} \right.\) nên mặt phẳng (OCE) cố định vuông góc với AB và tam giác ABC cân tại C.

Khi đó \(H \in (OCE)\).

Gọi K là trực tâm tam giác OAB , do A , B và K cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy) nên K(a;b;0).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OK} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.( - 2) + b.4 = 0\\a - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {3;\frac{3}{2};0} \right)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot (OEC)\\CA \bot (BHK)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot HK\\CA \bot HK\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot (CAB)\).

Suy ra \(\widehat {KHE} = {90^o}\).

Do đó H thuộc mặt cầu đường kính \(KE = \sqrt {1 + \frac{1}{4}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và thuộc mặt phẳng (OCE) cố định.

Vậy H luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 5 }}{4} \approx 0,56\).