Đề bài

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{x}{y}\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.

Có \({2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\)

\({2^y} + y = 2x + \left[ {{{\log }_2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) + {{\log }_2}2} \right] - {\log _2}2\)

\( \Leftrightarrow {2^y} + y = 2x + {\log _2}2\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) - {\log _2}2\)

\( \Leftrightarrow {2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {2x + {2^y}} \right) - 1\) (1).

Đặt \(t = {\log _2}\left( {2x + {2^y}} \right) \Rightarrow 2x + {2^y} = {2^t} \Rightarrow 2x = {2^t} - {2^y}\).

(1) trở thành \({2^y} + y = {2^t} - {2^y} + t - 1 \Leftrightarrow {2^{y + 1}} + y + 1 = {2^t} + t\) (2).

Xét hàm số \(f(u) = {2^u} + u\), \(\forall u > 0 \Rightarrow f'(u) = {2^u}\ln 2 + 1 > 0\), \(\forall u > 0\).

Suy ra hàm số \(f(x) = {2^x} + x\) luôn đồng biến trên \((0; + \infty )\).

Ta có (2) \( \Leftrightarrow f(y + 1) = f(t) \Leftrightarrow y + 1 = t\).

Suy ra \(y + 1 = {\log _2}\left( {2x + {2^y}} \right) \Leftrightarrow {2^{y + 1}} = 2x + {2^y}\)

\(\Leftrightarrow 2x = {2^{y + 1}} - {2^y} = {2^y}.2 - {2^y} = {2^y} \Leftrightarrow x = {2^{y - 1}}\).

Khi đó \(P = \frac{x}{y} = \frac{{{2^{y - 1}}}}{y} \Rightarrow P' = \frac{{{2^{y - 1}}\ln 2 - {2^{y - 1}}}}{{{y^2}}} = 0 \Leftrightarrow \ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\ln 2}}\).

Bảng biến thiên:

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{e\ln 2}}{2} \approx 0,94\) khi \(x = \frac{e}{2}\) và \(y = \frac{1}{{\ln 2}}\).