Đề bài

Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 (tham khảo hình vẽ).

a) Nếu A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) và điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow {MB'}  - 3\overrightarrow {MC}  + 5\overrightarrow {MD'}  = \overrightarrow 0 \) thì M(-1;4;7).

Đúng

Sai

b) Gọi E , F lần lượt thuộc các đường thẳng AA¢ và CD¢ sao cho đường thẳng EF vuông góc với mặt phẳng (A’BC’). Khi đó \(EF = \sqrt 3 \).

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

Đúng

Sai

d) Nếu A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) thì C’(1;2;3).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Nếu A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) và điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow {MB'}  - 3\overrightarrow {MC}  + 5\overrightarrow {MD'}  = \overrightarrow 0 \) thì M(-1;4;7).

Đúng

Sai

b) Gọi E , F lần lượt thuộc các đường thẳng AA¢ và CD¢ sao cho đường thẳng EF vuông góc với mặt phẳng (A’BC’). Khi đó \(EF = \sqrt 3 \).

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

Đúng

Sai

d) Nếu A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) thì C’(1;2;3).

Đúng

Sai

Phương pháp giải

Áp dụng các biểu thức tọa độ của vecto trong không gian.

a) Sai. Gọi M(a;b;c). Ta có B’(1;0;1), C(1;1;0), D’(0;1;1).

\(2\overrightarrow {MB'}  = (2 - 2a; - 2b;2 - 2c)\); \( - 3\overrightarrow {MC}  = ( - 3 + 3a; - 3 + 3b;3c)\); \(5\overrightarrow {MD'}  = ( - 5a;5 - 5b;5 - 5c)\).

Do đó \(2\overrightarrow {MB'}  - 3\overrightarrow {MC}  + 5\overrightarrow {MD'}  = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2a - 3 + 3a - 5a = 0\\ - 2b - 3 + 3b + 5 - 5b = 0\\2 - 2c + 3c + 5 - 5c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a =  - 1\\4b = 2\\4c = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{4};\frac{1}{2};\frac{7}{4}} \right)\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AA'}  = (0;0;1)\), \(\overrightarrow {CD'}  = ( - 1;0;1)\).

Đặt \(\overrightarrow {AE}  = x\overrightarrow {AA'} \); \(\overrightarrow {CF}  = y\overrightarrow {CD'} \). Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AE}  = (0;0;x)\\\overrightarrow {CF}  = ( - y;0;y)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E(0;0;x)\\F( - y + 1;1;y)\end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {EF}  = ( - y + 1;1;y - x)\), \(\overrightarrow {BA'}  = ( - 1;0;1)\), \(\overrightarrow {BC'}  = (0;1;1)\).

Vì \(EF \bot (A'BC') \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {EF} .\overrightarrow {BA'}  = 0\\\overrightarrow {EF} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 1 + (y - x) = 0\\1 + y - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\y - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Do đó \(\overrightarrow {EF}  = (1;1;1) \Rightarrow EF = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \).

c) Đúng. Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

d) Sai. \(\overrightarrow {AB}  = (1;0;0)\), \(\overrightarrow {AD}  = (0;1;0)\), \(\overrightarrow {AA'}  = (0;0;1)\).

Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = (1;1;1)\). Vậy C(1;1;1).