Trong một trò chơi thử thách, bạn Giáp đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ hồ (vị trí C) 300 m và cần đi đến vị trí B trên bờ hồ như hình vẽ dưới đây, khoảng cách từ C đến B là 400 m . Lưu ý là Giáp có thể chèo thuyền thẳng từ A đến B hoặc chèo thuyền từ A đến một điểm nằm giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Biết rằng Giáp chèo thuyền với tốc độ 50 m/phút và chạy bộ với tốc độ 100 m/phút.
a) Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là 10 phút.
b) Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn x (m) như hình vẽ dưới đây, rồi chạy bộ đến B thì thời gian Giáp đi từ A đến B được tính bằng công thức \(f(x) = \frac{1}{{100}}\left( {\sqrt {{x^2} + 90000} + 400 - x} \right)\).
c) Thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B xấp xỉ 9,2 phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
d) Thời gian Giáp chèo thuyền thẳng từ A đến B là 10 phút.
a) Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là 10 phút.
b) Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn x (m) như hình vẽ dưới đây, rồi chạy bộ đến B thì thời gian Giáp đi từ A đến B được tính bằng công thức \(f(x) = \frac{1}{{100}}\left( {\sqrt {{x^2} + 90000} + 400 - x} \right)\).
c) Thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B xấp xỉ 9,2 phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
d) Thời gian Giáp chèo thuyền thẳng từ A đến B là 10 phút.
Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất.
a) Đúng. Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là \(\frac{{300}}{{50}} + \frac{{400}}{{100}} = 10\) phút.
b) Sai. Ta có \(AD = \sqrt {{x^2} + {{300}^2}} = \sqrt {{x^2} + 90000} \) (m), DB = 400 – x (m) với \(0 \le x \le 400\).
Thời gian đi từ A đến B là \(f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 90000} }}{{50}} + \frac{{400 - x}}{{100}} = \frac{1}{{100}}\left( {2\sqrt {{x^2} + 90000} + 400 - x} \right)\) phút.
c) Đúng. \(f'(x) = \frac{1}{{100}}\left( {2\sqrt {{x^2} + 90000} + 400 - x} \right)' = \frac{1}{{100}}\left( {2\frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 90000} }} - 1} \right)\)
\( = \frac{1}{{100}}\left( {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 90000} }} - 1} \right) = \frac{{2x}}{{100\sqrt {{x^2} + 90000} }} - \frac{1}{{100}} = \frac{x}{{50\sqrt {{x^2} + 90000} }} - \frac{1}{{100}}\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{50\sqrt {{x^2} + 90000} }} - \frac{1}{{100}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - \sqrt {{x^2} + 90000} }}{{100\sqrt {{x^2} + 90000} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2x - \sqrt {{x^2} + 90000} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 90000} = 2x \Rightarrow {x^2} + 90000 = 4{x^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = 30000 \Rightarrow x = 100\sqrt 3 \) (vì \(0 \le x \le 400\)).
Ta có \(f(0) = 10\), \(f(100\sqrt 3 ) = 3\sqrt 3 + 4 \approx 9,2\), \(f(400) = 10\).
Vậy thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B xấp xỉ 9,2 phút.
d) Đúng. \(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{300}^2} + {{400}^2}} = 500\) (m).
Thời gian chèo thuyền thẳng từ A đến B là \(\frac{{500}}{{50}} = 10\) phút.
Danh sách bình luận