Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh AC = EB và AC song song với EB.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
c) Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H. Cho biết \(\widehat {HBE} = 50^\circ ;\widehat {MEB} = 25^\circ \). Tính số đo các góc HEB và HEM.
- Chứng minh: ∆AMC = ∆EMB (c.g.c) suy ra AC = EB và chứng minh\(\widehat {MAC} = \widehat {MEB}\) suy ra AC song song với EB.
- Chứng minh: \(\widehat {IMK} = 180^\circ \) suy ra ba điểm I, M, K thẳng hàng.
- Dựa vào tổng số đo hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \({90^o}\) để tính số đo các góc HEB và HEM.
a) Xét ∆AMC và ∆EMB có:
AM = ME (giả thiết),
\(\widehat {AMC} = \widehat {EMB}\) (hai góc đối đỉnh),
BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
Do đó ∆AMC = ∆EMB (c.g.c)
Suy ra AC = EB (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {MAC} = \widehat {MEB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {MAC}\) và \(\widehat {MEB}\) ở vị trí so le trong nên AC // BE.
Vậy AC = EB và AC song song với EB.
b) Xét ∆AMI và ∆EMK có:
AM = ME (giả thiết),
\(\widehat {MAI} = \widehat {MEK}\) (do \(\widehat {MAC} = \widehat {MEB}\)),
AI = EK (giả thiết)
Do đó ∆AMI = ∆EMK (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {EMK}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AMI} + \widehat {IME} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {EMK} + \widehat {IME} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {IMK} = 180^\circ \)
Do đó ba điểm I, M, K thẳng hàng.
Vậy ba điểm I, M, K thẳng hàng.
c) Trong tam giác HBE vuông tại H có:
\(\widehat {HBE} + \widehat {HEB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {HEB} = 90^\circ - \widehat {HBE} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \).
Ta có \(\widehat {HEB} = \widehat {HEM} + \widehat {MEB}\) (hai góc kề nhau)
Hay \(40^\circ = \widehat {HEM} + 25^\circ \)
Suy ra \(\widehat {HEM} = 40^\circ - 25^\circ = 15^\circ \).
Vậy \(\widehat {HEB} = 40^\circ ;\widehat {HEM} = 15^\circ \)
Để giải bài toán này, cần nắm vững các lý thuyết sau:
- Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c). Khi hai tam giác bằng nhau, các cạnh và góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau.
- Các loại góc:
+ Góc đối đỉnh thì bằng nhau.
+ Góc so le trong: Nếu hai đường thẳng cắt bởi một đường thẳng thứ ba tạo thành cặp góc so le trong bằng nhau, thì hai đường thẳng đó song song.
+ Góc kề bù: Tổng số đo của hai góc kề bù bằng $180^\circ$.
+ Góc kề nhau: Có chung một cạnh và nằm về hai phía của cạnh chung đó.
+ Tính chất của tam giác vuông: Tổng số đo hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng $90^\circ$.
+ Ba điểm thẳng hàng: Chứng minh góc tạo bởi ba điểm đó là góc bẹt ($180^\circ$).
Cụ thể:
a) Chứng minh $AC = EB$ và $AC // EB$:
Sử dụng trường hợp c.g.c để chứng minh $\triangle AMC = \triangle EMB$ (do $AM = ME$, $\widehat{AMC} = \widehat{EMB}$ (đối đỉnh), $BM = CM$).
Từ đó suy ra $AC = EB$ và $\widehat{MAC} = \widehat{MEB}$.
Vì $\widehat{MAC}$ và $\widehat{MEB}$ là hai góc so le trong bằng nhau, suy ra $AC // BE$.
b) Chứng minh ba điểm $I, M, K$ thẳng hàng:
Sử dụng trường hợp c.g.c để chứng minh $\triangle AMI = \triangle EMK$ (do $AM = ME$, $\widehat{MAI} = \widehat{MEK}$ (từ phần a), $AI = EK$).
Suy ra $\widehat{AMI} = \widehat{EMK}$.
Kết hợp với $\widehat{AMI} + \widehat{IME} = 180^\circ$ (kề bù), ta suy ra $\widehat{EMK} + \widehat{IME} = 180^\circ$, tức là $\widehat{IMK} = 180^\circ$.
Góc $\widehat{IMK}$ là góc bẹt chứng tỏ ba điểm $I, M, K$ thẳng hàng.
c) Tính số đo các góc HEB và HEM:
Trong tam giác vuông $HBE$, ta có $\widehat{HBE} + \widehat{HEB} = 90^\circ$. Với $\widehat{HBE} = 50^\circ$, suy ra $\widehat{HEB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.
Sử dụng tính chất góc kề nhau: $\widehat{HEB} = \widehat{HEM} + \widehat{MEB}$. Với $\widehat{HEB} = 40^\circ$ và $\widehat{MEB} = 25^\circ$, suy ra $\widehat{HEM} = 40^\circ - 25^\circ = 15^\circ$.
Danh sách bình luận