Đề bài

Hai chiếc khinh khí cầu A và B bay lên từ cùng một vị trí O trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, khinh khí cầu A nằm cách điểm xuất phát 4 km về phía Đông và 3km về phía Nam, đồng thời cách mặt đất 1 km; khinh khí cầu B nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1,5 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km (hình minh họa bên dưới). Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Gọi vị trí người quan sát là M, điểm B’ đối xứng với B qua mặt phẳng Oxy.

MA + MB ngắn nhất khi MA + MB’ ngắn nhất.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho điểm xuất phát là gốc O như hình vẽ trên.
Khi đó tọa độ hai khinh khí cầu là A(3;4;1) và \(B\left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{4}{5}} \right)\).

Gọi M là vị trí người quan sát và \(B'\left( { - 1; - \frac{3}{2}; - \frac{4}{5}} \right)\) là điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (Oxy).

Khi đó \(MA + MB = MA + MB' \ge AB' = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {4 + \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 + \frac{4}{5}} \right)}^2}}  \approx 7,03\) km.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M, A, B’ thẳng hàng và M thuộc đoạn AB’.