Đề bài

Một chiếc đèn trang trí (gồm các bóng đèn gắn vào một giá hình tròn) như hình bên dưới. Đèn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên giá sao cho tam giác ABC đều. Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L, trọng lượng của chiếc đèn là 27 N, bán kính của giá hình tròn là 0,5 m.

Biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 12 N . Hỏi chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc tổng hợp lực, tính chất vecto của trọng tâm tam giác.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do đó, GA = GB = GC = 0,5 m.

Theo đề bài, ta có OA = OB = OC = L nên \(OG \bot (ABC)\) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = L\).

Gọi F là độ lớn của các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số L.

Ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = F\) và tồn tại hằng số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {OC} \).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = k\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right) = k.3\overrightarrow {OG} \).

Mặt khác, có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \) với \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Suy ra \(\left| {\overrightarrow P } \right| = 27 \Rightarrow k.3\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = 27 \Leftrightarrow k = \frac{9}{{OG}}\).

Tam giác AOG vuông tại G nên \(OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}}  = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \) với L > 0,5.

Khi đó \(F(L) = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = k\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\) (với L > 0,5).

Suy ra \(F(L) \le 12 \Leftrightarrow \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }} \le 12 \Leftrightarrow 3L \le 4\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \)

\(\Leftrightarrow 9{L^2} \le 16{L^2} - 4 \Leftrightarrow 7{L^2} \ge 4 \Leftrightarrow L \ge \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là \(\frac{{2\sqrt 7 }}{7} \approx 0,76\) (m).