Đề bài

Để cái thang có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5 m kể từ gốc của cột đỡ như hình vẽ thì chiều dài bé nhất của cái thang là \(\sqrt {\frac{a}{b}} \), biết \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\). Khi đó a + 5b bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn chiều dài của thang theo biến x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đó.

Đặt HC = x > 0. Suy ra BC = x + 0,5.

Áp dụng định lí Thales, ta có \(\frac{{HC}}{{BC}} = \frac{{MH}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 0,5}} = \frac{4}{{AB}} \Leftrightarrow AB = \frac{{4(x + 0,5)}}{x}\).

Vì tam giác ABC vuông tại B nên suy ra \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = \frac{{16{{(x + 0,5)}^2}}}{{x}^2} + {(x + 0,5)^2} = f(x)\).

Để chiều dài thang nhỏ nhất thì AC nhỏ nhất, hay \(A{C^2}\) nhỏ nhất.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) với x > 0.

\(f'(x) = \frac{{\left( {4{x^3} + 3{x^2} + \frac{{65}}{2}x + 16} \right){x^2} - 2x\left( {{x^4} + {x^3} + \frac{{65}}{2}{x^2} + 16x + 4} \right)}}{{{x^4}}} = \frac{{2{x^4} + {x^3} - 16x - 8}}{{{x^3}}}\).

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Loại \(x =  - \frac{1}{2} < 0\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy chiều dài thang nhỏ nhất là \(AC = \sqrt {\frac{{125}}{4}} \). Khi đó a + 5b = 125 + 5.4 = 145.