Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Gọi d là khoảng cách giữa hai điểm cực trị của (C) và \({d_1}\) là khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến gốc tọa độ. Giá trị của \({d^2} + {d_1}^2\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập bảng biến thiên, tìm tọa độ các điểm cực trị và áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.

Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Hai điểm cực trị của (C) là A(0;3) và B(-2;-1) nên \(d = AB = \sqrt {{{( - 2 - 0)}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow {d^2} = 20\).

Điểm cực đại là B(-2;-1) nên \({d_1} = OB = \sqrt {{{( - 2 - 0)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2}}  = \sqrt 5  \Rightarrow {d_1}^2 = 5\).

Vậy \({d^2} + {d_1}^2 = 20 + 5 = 25\).