Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho với A(1;-3;3), B(2;-4;5), C(3;-2;1).
a) \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1; - 2)\).
b) Điểm G(a;b;c) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) thì a + b + c = 2.
c) Điểm I(xy;z) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \), khi đó 2x + y + z = 4.
d) Gọi M(x;y;z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ (Oyz) sao cho biểu thức \(P = - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x + y – z < -5.
a) \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1; - 2)\).
b) Điểm G(a;b;c) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) thì a + b + c = 2.
c) Điểm I(xy;z) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \), khi đó 2x + y + z = 4.
d) Gọi M(x;y;z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ (Oyz) sao cho biểu thức \(P = - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x + y – z < -5.
a, b, c) Sử dụng các biểu thức tọa độ trong không gian.
d) Ứng dụng tọa độ điểm I vừa tìm ở câu c).
a) Sai. \(\overrightarrow {AB} = (2 - 1; - 4 + 3;5 - 3) = (1; - 1;2)\).
b) Đúng. \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 3 - 4 - 2}}{3} = - 3\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow G(2; - 3;3)\)
\(\Rightarrow a + b + c = 2 - 3 + 3 = 2\).
c) Đúng. Ta có:
\(\overrightarrow {IA} = (1 - x;-3 - y;3 - z)\), \(\overrightarrow {IB} = (2 - x; - 4 - y;5 - z)\), \(\overrightarrow {IC} = (3 - x; - 2 - y;1 - z)\).
\(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 6x = 0\\ - 16 - 6y = 0\\14 - 6z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{6}\\y = \frac{{ - 8}}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow 2x + y + z = 4\).
d) Sai. Gọi điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \), theo câu c) ta có \(I\left( {\frac{{13}}{6};\frac{{ - 8}}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
Ta có: \( - P = 2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}\)
\( = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)
\( = 2\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right) + 3\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} + {{\overrightarrow {IC} }^2}} \right)\)
\( = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} + 3{\overrightarrow {IC} ^2}\)
\( = 6{\overrightarrow {MI} ^2} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {IC} ^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} \)
\( = 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)\)
\( = 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0 \)
\( = 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\).
Suy ra \(P = - 6M{I^2} - 2I{A^2} - I{B^2} - 3I{C^2}\).
Do giá trị của \( - 2I{A^2} - I{B^2} - 3I{C^2}\) không đổi nên P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(M{I^2}\) nhỏ nhất, hay MI nhỏ nhất.
Vì M nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên IM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oyz).
Khi đó, \(M\left( {0;\frac{{ - 8}}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow x + y - z = - 5\).
Danh sách bình luận