Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = $\frac{1}{2}$NH.

Chứng minh rằng $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ và $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$.

Phương pháp giải

Chứng minh \(\Delta CAH\backsim \Delta CBA\) => $\frac{CA}{CB}=\frac{AH}{BA}=\frac{AN}{CA}$ và $\widehat{CAH}=\widehat{CBA}$.

Chứng minh $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ và $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$ dựa vào tỉ số cạnh tương ứng và góc xen giữa bằng nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

(H.9.23). Hai tam giác vuông CAH (vuông tại H) và CBA (vuông tại A) có góc C chung. Do đó \(\Delta CAH\backsim \Delta CBA\) (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Suy ra $\frac{CA}{CB}=\frac{AH}{BA}=\frac{AN}{CA}$ và $\widehat{CAH}=\widehat{CBA}$.

Hai tam giác CAN và CBM có:

$\frac{CA}{CB}=\frac{AN}{BM}$ (theo chứng minh trên),

$\widehat{CBM}=\widehat{CAH}=\widehat{CBA}=\widehat{CBN}$ (theo chứng minh trên).

Vậy $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ (c.g.c).

Hai tam giác vuông CHN (vuông tại H) và CAM (vuông tại A) có:

$\frac{HC}{AC}=\frac{HA}{AB}=\frac{HN}{AM}$ (vì $\Delta CAH\backsim \Delta CBA$).

Vậy $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Xem thêm : Vở thực hành Toán 8

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH (H thuộc BC).

a) Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta CBA$, suy ra \(A{B^2} = BH.BC\).

b) Vẽ \(HE \bot AB\) tại E, \(HF \bot AC\) tại F. Chứng minh \(AB.AE = AC.AF\).

c) Chứng minh $\Delta AEF\backsim \Delta ACB$.

d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ \(IN \bot BC\) tại N. Chứng minh $\Delta HFN\backsim \Delta HCI$.

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ IN vuông góc với BC tại N (N thuộc BC).

a) Chứng minh $\Delta ACB\backsim \Delta NIB$. Từ đó suy ra \(BA.BI = BC.BN\).

b) Giả sử AC = 6cm, BC = 10cm. Tính BN.

c) Chứng minh \(\widehat {IAN} = \widehat {ICN}\).

d) Chứng minh \(A{C^2} = N{C^2} - N{B^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) với \(AB = 6{\rm{\;cm}},AC = 9{\rm{\;cm}}\).

a) Lấy các điểm \({\rm{M}},{\rm{N}}\) lần lượt trên các cạnh \({\rm{AB}},{\rm{AC}}\) sao cho \(AM = 4{\rm{\;cm}},AN = 6{\rm{\;cm}}\). Chứng minh rằng $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng.

b) Lấy điểm \(P\) trên cạnh \({\rm{AC}}\) sao cho \(AP = 4{\rm{\;cm}}\). Chứng minh rằng $\Delta APB\backsim \Delta ABC$.

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Hình thang \({\rm{ABCD}}\) ở hình dưới đây có \(AB//CD\), \(AB < CD,\widehat {ABD} = {90^0}\). Hai đường chéo \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) cắt nhau tại \(G\). Điểm \(E\) nằm trên đường vuông góc với \({\rm{AC}}\) tại \(C\) thoả mãn \(CE = AG\) và đoạn thẳng \({\rm{GE}}\) không cắt đường thẳng \({\rm{CD}}\). Điểm \(F\) nằm trên đoạn thẳng \({\rm{DC}}\) và \(DF = GB\). Chứng minh:
a) $\Delta FDG\backsim \Delta ECG$
b) $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$;
c) \(\widehat {GFE} = {90^0}\).

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho \(\Delta ABC\) có các đường cao \({\rm{BD}}\) và \({\rm{CE}}\) cắt nhau tại \({\rm{H}}\). Chứng minh:
a) \(\Delta HBE\) đồng dạng với \(\Delta HCD\).
b) \(\widehat {HDE} = \widehat {HAE}\).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M sao cho AM là phân giác của góc BAC, lấy điểm N và P thuộc AC sao cho MN và MP lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) $\Delta MPC\backsim \Delta ABC$.

b) \(\frac{{BC}}{{MC}} = \frac{{AB + AC}}{{AC}}\).

c) \(MP = MB\).

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn (AB < AC). Kẻ đường cao AH, từ H kẻ HD và HE lần lượt vuông góc với AB và AC (\(D \in AB,E \in AC\)).

a) Chứng minh $\Delta AHD\backsim \Delta ABH$.

b) Chứng minh AD.AB = AE.AC.

c) Gọi I là trung điểm của HC. Điểm F là chân đường vuông góc hạ từ I đến AC.

Chứng minh \(C{A^2} - H{C^2} = A{F^2} - C{F^2}\)

Xem lời giải >>

Bài 8 :

1. Một cái lều ở trại hè của học sinh có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là 2,24m và cạnh đáy bằng 2m. Tính diện tích vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp gấp), biết lều này không có đáy.

2. Cho tam giác ANE vuông tại A có đường cao AB.

a) Chứng minh $\Delta ANE\backsim \Delta BEA$.

b) Chứng minh \(A{N^2} = NB.NE\).

c) Cho \(AN = 15cm,NE = 25cm\). Tia phân giác của góc N cắt cạnh AB tại I. Tính NI?

Xem lời giải >>

Bài 9 :

1. Khu bảo tồn Muttart là một phần biểu tượng của cảnh quan thành phố Edmonton, Canada với bốn nhà kính dạng kim tự tháp. Mỗi tòa nhà đều có từng chủ đề riêng. Hai nhà kính lớn đều có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 24m và diện tích đáy mỗi nhà kính khoảng \(660{m^2}\). Tính tổng thể tích hai nhà kính này.

2. Cho \(\Delta ABC\) nhọn (AB < AC). Hai đường cao BE và CF.

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ và \(AE.AC = AF.AB\)

b) Trên tia BE lấy điểm N sao cho \(\widehat {ANC} = {90^0}\) (E nằm giữa B và N). Chứng minh $\Delta ANE\backsim \Delta ACN$ và \(A{N^2} = AE.AC\).

c) Trên cạnh CF lấy điểm M sao cho AM = AN. Tính số đo \(\widehat {AMB}\).

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB = 6cm\) và \(AC = 8cm\). Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ C kẻ \(CE \bot BD\) kẻ E.

a) Tính độ dài BC và tỉ số \(\frac{{AD}}{{DC}}\).

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$. Từ đó suy ra \(BD.EC = AD.BC\).

c) Chứng minh \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\).

d) Gọi EH là đường cao của \(\Delta EBC\). Chứng minh \(CH.CB = ED.EB\).

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Trong hình 9.72, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) ΔAEH ∽ ΔAHB

b) ΔAFH ∽ ΔAHC

c) ΔAFE ∽ ΔABC

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=4cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c.

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tính độ dài \(AF\) và \(EF\) trong Hình 6.112.

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) \(HA.HD = HB.HE = HC.HF\);

b) $\Delta AFC\backsim \Delta AEB$ và $AF.AB=AE.AC\,;$

c) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$ và DA là tia phân giác của góc EDF.

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BDF\backsim \Delta BAC$ và $\Delta CDE\backsim \Delta CAB$;

b) \(BF.BA + CE.CA = B{C^2}\)

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANP\backsim \Delta HBA$ và $\Delta MCN\backsim \Delta MPB$;

b) \(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) \(AM.AB = A{H^2}\) và \(AM.AB = AN.AC\)

b) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:

a) \(B{C^2} + 3B{A^2} = 4B{M^2}\) và \(B'C{'^2} + 3B'A{'^2} = 4B'M{'^2}\);

b) Nếu \(\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}\) thì $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$.

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng \(CM \bot DN\).

b) Biết \(AB = 4cm,\) hãy tính diện tích tam giác ONC.

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng

b) $\Delta ABN\backsim \Delta CAM$ và $\Delta ACP\backsim \Delta BAM$

c) \(AN \bot CM\) và \(AP \bot BM\)

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng $\Delta CAM\backsim \Delta CBN$ và $\Delta CHM\backsim \Delta CAN$

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.

a) Chứng minh ΔBMP ∽ ΔMCN

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{B\text{D}}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\), từ đó suy ra \(A\text{E}=\frac{AB.AC}{AB+AC}\);

b) ΔDFC ∽ ΔABC;

c) DF = DB

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho tam giác ABC có \(AB = 3cm,AC = 4cm,BC = 5cm.\) Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho \(BD = 2cm.\) Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng $\Delta BDE\backsim \Delta DCF$

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 4cm, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 10cm. Kẻ đoạn thẳng MD.

a) Chứng tỏ rằng DM // AB.

b) Chứng minh $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$.

c) Xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác MDC với diện tích tam giác ABC.

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Cho \(\Delta ABC\) có AB = 2cm, AC = 4cm. Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại D sao cho \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\). Gọi AH là đường cao của \(\Delta ABC\), AE là đường cao của \(\Delta ABD\).

a) $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$.

b) \(\widehat {ADB} = \widehat {ABC}\).

c) \(AD = 0,5cm,DC = 3,5cm\).

d) \({S_{\Delta ABH}} = 4{S_{\Delta ADE}}\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$.

b) Lấy điểm I thuộc đoạn AH (I không trùng với A, H). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng \(CH.CB = CI.CK\).

c) Tia BK cắt tia HA tại điểm D. Chứng minh \(CH.CB + DK.DB = C{D^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ \(AH \bot BD\) tại H.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$.

b) Chứng minh rằng \(B{C^2} = BD.DH\).

c) Kẻ DE là đường phân giác của tam giác ABD. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh \(\Delta AIE\) cân và \(A{E^2} = IH.EB\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AM, N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC, cắt MN tại E.

a) M là trung điểm của BC.

b) ME // AB.

c) AE = MC.

d) $\Delta AEN\backsim \Delta CNM$.

Xem lời giải >>