Đề bài

a) Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x - 2y \ge  - 6\\2x + y \le 10\end{array} \right.\).

b) Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = 2x +3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.

Phương pháp giải

- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (là một miền đa giác).

- Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác.

- Tính giá trị của biểu thức f = 2x + 3y với (x,y) là tọa độ các đỉnh của đa giác sau đó so sánh để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

- Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thoả mãn 1 > 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (miền không bị gạch).

- Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thoả mãn 1> 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình  là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm  (0;1) (miền không bị gạch).

- Bước 3: Vẽ đường thẳng : 3x - 2y = -6. Lấy điểm O(0;0) không thuộc , và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x - 2y ta được: 3.0 – 2.0 = 0 > -6. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 3x - 2y = -6 là nửa mặt phẳng bờ, chứa điểm O(0;0) (miền không bị gạch).

- Bước 4: Vẽ đường thẳng : 2x + y = 10 và điểm O(0;0) thoả mãn 2.0 + 0 =0 < 10. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x + y = 10 là nửa mặt phẳng bờ  chứa điểm O(0;0) (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm D của hệ là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch), trong đó A(0; 3), B(2; 6), C(5; 0), như hình vẽ sau:

 

b) Ta có: F(0;0) = 2.0 + 3.0 = 0; F(0;3) = 2.0 + 3.3 = 9.

F(2;6) = 2.2 + 3.6 = 22; F(5;0) = 2.5 + 3.0 = 10.

Vậy trên miền D, giá trị lớn nhất của biểu thức F(x;y) = 2x +3y là 22 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x;y) = 2x +3y là 0.