Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường phân giác $AD$. Vẽ hình vuông $MNPQ$ ở đó $M$ thuộc cạnh $AB,N$ thuộc cạnh $AC,P$ và $Q$ thuộc cạnh $BC$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $BN$ và $MQ$; $CM$ và $NP$ (Hình 60). Chứng minh:

 

a)      $DE$ song song với $AC$;

b)     $DE=DF$.

Phương pháp giải

Tam giác $A'B'C'$ gọi là đồng dạng với tam giác $ABC$ nếu:

$\widehat{A'}=\widehat{A},\widehat{B'}=\widehat{B},\widehat{C'}=\widehat{C}$ ; $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}$.

Kí hiệu là $\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC$.

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}=k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)      Ta có $\frac{BE}{EN}=\frac{BQ}{QP}=\frac{BQ}{MQ}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ suy ra $DE//NC$ hay $DE//AC$.

b)     Do $DE//AC$ nên $\frac{DE}{CN}=\frac{BD}{BC}$ hay $DE=\frac{BD}{BC}.CN$

Tương tự: $DF=\frac{CD}{BC}.BM$. Suy ra $\frac{DE}{DF}=\frac{BD}{CD}.\frac{CN}{BM}$.

Mặt khác, $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ và $\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$ nên $\frac{DE}{DF}=1$ hay $DE=DF$.