Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB,N thuộc cạnh AC,PQ thuộc cạnh BC. Gọi EF lần lượt là giao điểm của BNMQ; CMNP (Hình 60). Chứng minh:

 

a)      DE song song với AC;

b)     DE=DF.

Phương pháp giải

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

^A=ˆA,^B=ˆB,^C=ˆC ; ABAB=BCBC=ACAC.

Kí hiệu là ΔABCΔABC.

Tỉ số các cạnh tương ứng ABAB=BCBC=CACA=k gọi là tỉ số đồng dạng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)      Ta có BEEN=BQQP=BQMQ=ABAC=BDDC suy ra DE//NC hay DE//AC.

b)     Do DE//AC nên DECN=BDBC hay DE=BDBC.CN

Tương tự: DF=CDBC.BM. Suy ra DEDF=BDCD.CNBM.

Mặt khác, BDCD=ABACCNBM=ACAB nên DEDF=1 hay DE=DF.

Xem thêm : SBT Toán 8 - Cánh diều

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hình vẽ, biết DE//BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng ACAB=ECEA

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên IA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt IB tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt IC tại F. Chứng minh rằng: DF//AC

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho hình thang ABCD(AB//CD). Đường thẳng song song với AB cắt AD,BD,ACBC theo thứ tự tại các điểm M,N,P,Q.

Chứng minh rằng MN=PQ.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB;AC của tam giác ABC.

a) Tính các tỉ số AMAB,ANAC;

b) Chứng mình MN//BC;

c) Chứng minh MNBC=12.

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Cho tam giác ABC, biết DE//BC  (Hình 2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ADDB=AEEC.  

B. ADAB=AEAC.

C. AEAC=DEBC.           

D. BDAB=DEBC.

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho ΔABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB  và AC lần lượt tại DE. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB tại F. Biết AB=25cm,AF=9cm,EF=12cm, độ dài đoạn DC

A. 25cm.

B. 20cm.

C. 15cm.

D. 12cm.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

a) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN,BN trên mặt đất được ghi lại như trong Hình 6. Tính chiều cao ABcủa cái cây.

 

b) Một tòa nhà cao 24m, đổ bóng nắng dài 36m trên đường như Hình 7. Một người cao 1,6m muốn đứng trong bóng dâm của toàn nhà. Hỏi người đó có thể đứng cách tòa nhà xa nhất là bao nhiêu mét?

 

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho tam giác ABCBC bằng 30cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K,I sao cho AK=KI=IH. Qua IK vẽ các đường EF//BC,MN//BC(E,MAB;F,NAC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MNEF.

b) Tính diện tích tứ giác MNFE biết rằng diện tích tam giác ABC10,8dm2.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho tứ giác ABCDACBD cắt nhau tại . Qua O, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại E, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại F.

a) Chứng minh: EF//BD;

b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại G và đường thẳng song song với AD cắt CD tại H. Chứng minh rằng CG.DH=BG.CH.

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A cắt BD,BC,DC lần lượt tại E,K,G (Hình 10). Chứng minh rằng:

a) AE2=EK.EG;

b) 1AE=1AK+1AG.

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho hình thang ABCD (ABCD) có AB = 4cm, CD = 6cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.

a)      Chứng minh AMMD=BNNC;

b)     Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Trong Hình 15, cho MNAB,NPBC. Chứng minh MPAC.

 

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho tam giác ABCBC=15cm,CA=18cmAB=12cm. Gọi IG lần lượt là giao điểm ba đường phân giác và trọng tâm ΔABC.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng CDBD.

b) Chứng minh IGBC.

c) Tính độ dài đoạn thẳng IG.

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên AO, từ D kẻ DEAB (EOB) và DFAC (FOC). Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho tam giác ABC, IK là hai điểm bất kì trên cạnh ABAC. Từ I kẻ IMBK (MAC), từ K kẻ KNCI (NAB). Khi đó MN …… BC. Từ thích hợp điền vào chỗ chấm là:

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại DE sao cho ADAB=AEAC. Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng FM ở D. Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành.

c) Chứng minh BE.AC + CF.AB = AB.AC.

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có MN//BC (MAB,NAC). Biết AB=9cm,AM=3cm,AN=4cm. Tính độ dài NC, MN, BC.

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình thang, AB//CD(AB<CD); M là trung điểm của DC; AM cắt BDI; BM cắt ACK; IK cắt AD,BC lần lượt ở E,F. Chứng minh:

a)      IK//AB

b)     EI=IK=KF

Xem lời giải >>