Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB,N thuộc cạnh AC,P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP (Hình 60). Chứng minh:
a) DE song song với AC;
b) DE=DF.
Tam giác A′B′C′ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
^A′=ˆA,^B′=ˆB,^C′=ˆC ; A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC.
Kí hiệu là ΔA′B′C′∽ΔABC.
Tỉ số các cạnh tương ứng A′B′AB=B′C′BC=C′A′CA=k gọi là tỉ số đồng dạng.
a) Ta có BEEN=BQQP=BQMQ=ABAC=BDDC suy ra DE//NC hay DE//AC.
b) Do DE//AC nên DECN=BDBC hay DE=BDBC.CN
Tương tự: DF=CDBC.BM. Suy ra DEDF=BDCD.CNBM.
Mặt khác, BDCD=ABAC và CNBM=ACAB nên DEDF=1 hay DE=DF.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình vẽ, biết DE//BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Chứng minh rằng AE = DF.
b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng ACAB=ECEA
Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên IA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt IB tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt IC tại F. Chứng minh rằng: DF//AC
Cho hình thang ABCD(AB//CD). Đường thẳng song song với AB cắt AD,BD,AC và BC theo thứ tự tại các điểm M,N,P,Q.
Chứng minh rằng MN=PQ.
Cho M,N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB;AC của tam giác ABC.
a) Tính các tỉ số AMAB,ANAC;
b) Chứng mình MN//BC;
c) Chứng minh MNBC=12.
Cho tam giác ABC, biết DE//BC (Hình 2). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. ADDB=AEEC.
B. ADAB=AEAC.
C. AEAC=DEBC.
D. BDAB=DEBC.
Cho ΔABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB tại F. Biết AB=25cm,AF=9cm,EF=12cm, độ dài đoạn DC là
A. 25cm.
B. 20cm.
C. 15cm.
D. 12cm.
a) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN,BN trên mặt đất được ghi lại như trong Hình 6. Tính chiều cao ABcủa cái cây.
b) Một tòa nhà cao 24m, đổ bóng nắng dài 36m trên đường như Hình 7. Một người cao 1,6m muốn đứng trong bóng dâm của toàn nhà. Hỏi người đó có thể đứng cách tòa nhà xa nhất là bao nhiêu mét?
Cho tam giác ABC có BC bằng 30cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K,I sao cho AK=KI=IH. Qua I và K vẽ các đường EF//BC,MN//BC(E,M∈AB;F,N∈AC).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE biết rằng diện tích tam giác ABC là 10,8dm2.
Cho tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại . Qua O, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại E, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại F.
a) Chứng minh: EF//BD;
b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại G và đường thẳng song song với AD cắt CD tại H. Chứng minh rằng CG.DH=BG.CH.
Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A cắt BD,BC,DC lần lượt tại E,K,G (Hình 10). Chứng minh rằng:
a) AE2=EK.EG;
b) 1AE=1AK+1AG.
Cho hình thang ABCD (AB∥CD) có AB = 4cm, CD = 6cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.
a) Chứng minh AMMD=BNNC;
b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.
Trong Hình 15, cho MN∥AB,NP∥BC. Chứng minh MP∥AC.
Cho tam giác ABC có BC=15cm, CA=18cm và AB=12cm. Gọi I và G lần lượt là giao điểm ba đường phân giác và trọng tâm ΔABC.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng CD và BD.
b) Chứng minh IG∥BC.
c) Tính độ dài đoạn thẳng IG.
Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên AO, từ D kẻ DE∥AB (E∈OB) và DF∥AC (F∈OC). Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho tam giác ABC, I và K là hai điểm bất kì trên cạnh AB và AC. Từ I kẻ IM∥BK (M∈AC), từ K kẻ KN∥CI (N∈AB). Khi đó MN …… BC. Từ thích hợp điền vào chỗ chấm là:
Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại D và E sao cho ADAB=AEAC. Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng FM ở D. Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành.
c) Chứng minh BE.AC + CF.AB = AB.AC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có MN//BC (M∈AB,N∈AC). Biết AB=9cm,AM=3cm,AN=4cm. Tính độ dài NC, MN, BC.
Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình thang, AB//CD(AB<CD); M là trung điểm của DC; AM cắt BD ở I; BM cắt AC ở K; IK cắt AD,BC lần lượt ở E,F. Chứng minh:
a) IK//AB
b) EI=IK=KF