Đề bài

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1 km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100 m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số tính thời gian di chuyển theo x và tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi A là mục tiêu; B là vị trí chiến sỹ và BD là đường bơi của chiến sỹ.
Chọn một đơn vị độ dài là 100m, suy ra BC = 1; AB = 10; \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {1^2}}  = 3\sqrt {11} \).

Gọi vận tốc bơi của chiến sỹ là 1 đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của chiến sỹ là 3 đơn vị vận tốc. Gọi x là quãng đường chiến sỹ bơi, hay BD = x (1 < x < 10).

\(CD = \sqrt {{x^2} - 1} \); \(AD = AC - CD = 3\sqrt {11}  - \sqrt {{x^2} - 1} \).

Thời gian chiến sỹ đến được mục tiêu là: \(t = \frac{{3\sqrt {11}  - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} + \frac{x}{1} = \sqrt {11}  - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1}  + x\).

Xét hàm \(f(x) = \sqrt {11}  - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1}  + x\) có \(f'(x) = 1 - \frac{x}{{3\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Thời gian chiến sỹ đến mục tiêu ngắn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất, hay \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy chiến sĩ phải bơi \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.100 = 75\sqrt 2  \approx 106\) (m).