Đề bài

Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol (P) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng 4 m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF sao cho chiều cao cửa đi là CD = 2m, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({m^3}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, từ đó tìm ra hàm số có đồ thị giới hạn phần diện tích cần tìm. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân.

Giả sử parabol (P) có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

(P) đi qua ba điểm (0; 4), (-2; 0) và (2; 0)  nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\0 = a{.2^2} + b.2 + c\\0 = a.{( - 2)^2} + b.( - 2) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).

Vậy (P): \(y =  - {x^2} + 4\).

Điểm D và E thuộc đồ thị có tung độ bằng 2 nên hoành độ hai điểm đó là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} + 4 = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \).

Theo đồ thị, \(D(\sqrt 2 ;2)\) và \(E( - \sqrt 2 ;2)\).

Chiều rộng cánh cửa là \(DE = 2\sqrt 2 \) (m).

Diện tích cánh cửa là:

\({S_{CDEF}} = 2.2\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \) \(({m^2})\).

Diện tích phần đồ thị (P) tạo với trục hoành là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {( - {x^2} + 4)dx}  = \frac{{32}}{3}\) \(({m^2})\).

Diện tích cần trang trí là:

\({S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 4\sqrt 2  = \frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}\) \(({m^2})\).

Chi phí để trang trí là \(\frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}.1,5 \approx 7,5\) (triệu đồng).