Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:
a) BC2+3BA2=4BM2 và B′C′2+3B′A′2=4B′M′2;
b) Nếu BCBM=B′C′B′M′ thì ΔABC∽ΔA′B′C′.
a) Sử dụng kiến thức định lí Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
b) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A có: BC2=AB2+AC2
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABM vuông tại A có: BM2=AB2+AM2
Do đó, 4BM2=4(AB2+AM2)=4AB2+AC2=3AB2+BC2
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có: B′C′2=A′B′2+A′C′2
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’M’ vuông tại A’: B′M′2=A′B′2+A′M′2
Do đó, 4B′M′2=4(A′B′2+A′M′2)=4A′B′2+A′C′2=3A′B′2+B′C′2
b) Giả sử BCBM=B′C′B′M′. Theo phần a ta có: BC2BM2+3BA2BM2=4=B′C′2B′M′2+3B′A′2B′M′2
Suy ra: BA2BM2=B′A′2B′M′2hayBABM=B′A′B′M′
Do đó, BCB′C′=BMB′M′=BAB′A′
Lại có: ^BAC=^B′A′C′=900 nên ΔABC∽ΔA′B′C′(ch−cgv)
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong hình 9.72, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng
a) ΔAEH ∽ ΔAHB
b) ΔAFH ∽ ΔAHC
c) ΔAFE ∽ ΔABC
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=4cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC
b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD
Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c.
Tính độ dài AF và EF trong Hình 6.112.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA.HD=HB.HE=HC.HF;
b) ΔAFC∽ΔAEB và AF.AB=AE.AC;
c) ΔBDF∽ΔEDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ΔBDF∽ΔBAC và ΔCDE∽ΔCAB;
b) BF.BA+CE.CA=BC2
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ΔANP∽ΔHBA và ΔMCN∽ΔMPB;
b) MBMC.NCNA.PAPB=1
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AM.AB=AH2 và AM.AB=AN.AC
b) ΔAMN∽ΔACB
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM⊥DN.
b) Biết AB=4cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:
a) ΔMNP∽ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng
b) ΔABN∽ΔCAM và ΔACP∽ΔBAM
c) AN⊥CM và AP⊥BM
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng ΔCAM∽ΔCBN và ΔCHM∽ΔCAN
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.
a) Chứng minh ΔBMP ∽ ΔMCN
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = 12NH.
Chứng minh rằng ΔCAN∽ΔCBM và ΔCHN∽ΔCAM.
Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:
a) BDBC=ABAB+AC, từ đó suy ra AE=AB.ACAB+AC;
b) ΔDFC ∽ ΔABC;
c) DF = DB
Cho tam giác ABC có AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD=2cm. Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.
a) Chứng minh rằng ΔBDE∽ΔDCF
b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.
Cho ΔABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 4cm, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 10cm. Kẻ đoạn thẳng MD.
a) Chứng tỏ rằng DM // AB.
b) Chứng minh ΔBAC∽ΔMDC.
c) Xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác MDC với diện tích tam giác ABC.