Đề bài

Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:

a) BC2+3BA2=4BM2BC2+3BA2=4BM2;

b) Nếu BCBM=BCBM thì ΔABCΔABC.

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức định lí Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

b) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A có: BC2=AB2+AC2

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABM vuông tại A có: BM2=AB2+AM2

Do đó, 4BM2=4(AB2+AM2)=4AB2+AC2=3AB2+BC2

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có: BC2=AB2+AC2

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’M’ vuông tại A’: BM2=AB2+AM2

Do đó, 4BM2=4(AB2+AM2)=4AB2+AC2=3AB2+BC2

b) Giả sử BCBM=BCBM. Theo phần a ta có: BC2BM2+3BA2BM2=4=BC2BM2+3BA2BM2

Suy ra: BA2BM2=BA2BM2hayBABM=BABM

Do đó, BCBC=BMBM=BABA

Lại có: ^BAC=^BAC=900 nên ΔABCΔABC(chcgv)

Xem thêm : SBT Toán 8 - Kết nối tri thức

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Trong hình 9.72, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) ΔAEH ∽ ΔAHB 

b) ΔAFH ∽ ΔAHC 

c) ΔAFE ∽ ΔABC 

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=4cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC 

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c.

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Tính độ dài AFEF trong Hình 6.112.

 

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) HA.HD=HB.HE=HC.HF;

b) ΔAFCΔAEBAF.AB=AE.AC;

c) ΔBDFΔEDC và DA là tia phân giác của góc EDF.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) ΔBDFΔBACΔCDEΔCAB;

b) BF.BA+CE.CA=BC2

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ΔANPΔHBAΔMCNΔMPB;

b) MBMC.NCNA.PAPB=1

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM.AB=AH2AM.AB=AN.AC

b) ΔAMNΔACB

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng CMDN.

b) Biết AB=4cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) ΔMNPΔABC và tìm tỉ số đồng dạng

b) ΔABNΔCAMΔACPΔBAM

c) ANCMAPBM

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng ΔCAMΔCBNΔCHMΔCAN

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.

a) Chứng minh ΔBMP ∽ ΔMCN 

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = 12NH.

Chứng minh rằng ΔCANΔCBMΔCHNΔCAM.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) BDBC=ABAB+AC, từ đó suy ra AE=AB.ACAB+AC;

b) ΔDFC ∽ ΔABC;

c) DF = DB

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho tam giác ABC có AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD=2cm. Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng ΔBDEΔDCF

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho ΔABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 4cm, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 10cm. Kẻ đoạn thẳng MD.

a) Chứng tỏ rằng DM // AB.

b) Chứng minh ΔBACΔMDC.

c) Xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác MDC với diện tích tam giác ABC.

Xem lời giải >>