Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) ΔANPΔHBAΔMCNΔMPB;

b) MBMC.NCNA.PAPB=1

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) Sử dụng định lí Thalès để chứng minh: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ^BAC=900

^BAC+^PAN=1800 (hai góc kề bù)

Do đó ^PAN=900

AHBC (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên ^AHB=^AHC=900

MNBC nên ^NMC=^NMB=900

MNBC, AHBC nên MN//AH

Do đó, ˆP=^HAB (hai góc đồng vị)

Tam giác ANP và tam giác HBA có:

^NAP=^AHB=900,ˆP=^HAB (cmt)

Do đó, ΔANPΔHBA(gg)

Tam giác MCN và tam giác MPB có:

^NMC=^NMB=900,ˆC=ˆP (cùng phụ với góc B)

Do đó, ΔMCNΔMPB(gg)

b) Ta có: MBMC.NCNA.PAPB=MBPB.NCNA.PAMC

Tam giác PMB có: PM//AH nên theo định lí Thalès ta có: MBMH=PBPA, suy ra MBPB=MHPA

Tam giác AHC có: MN//AH nên theo định lí Thalès ta có: NCNA=MCMH

Do đó: MBPB.NCNA.PAMC=MHPA.MCMH.PAMC=1

Xem thêm : SBT Toán 8 - Kết nối tri thức

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Trong hình 9.72, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) ΔAEH ∽ ΔAHB 

b) ΔAFH ∽ ΔAHC 

c) ΔAFE ∽ ΔABC 

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=4cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC 

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c.

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Tính độ dài AFEF trong Hình 6.112.

 

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) HA.HD=HB.HE=HC.HF;

b) ΔAFCΔAEBAF.AB=AE.AC;

c) ΔBDFΔEDC và DA là tia phân giác của góc EDF.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) ΔBDFΔBACΔCDEΔCAB;

b) BF.BA+CE.CA=BC2

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM.AB=AH2AM.AB=AN.AC

b) ΔAMNΔACB

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:

a) BC2+3BA2=4BM2BC2+3BA2=4BM2;

b) Nếu BCBM=BCBM thì ΔABCΔABC.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng CMDN.

b) Biết AB=4cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) ΔMNPΔABC và tìm tỉ số đồng dạng

b) ΔABNΔCAMΔACPΔBAM

c) ANCMAPBM

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng ΔCAMΔCBNΔCHMΔCAN

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.

a) Chứng minh ΔBMP ∽ ΔMCN 

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = 12NH.

Chứng minh rằng ΔCANΔCBMΔCHNΔCAM.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) BDBC=ABAB+AC, từ đó suy ra AE=AB.ACAB+AC;

b) ΔDFC ∽ ΔABC;

c) DF = DB

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho tam giác ABC có AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD=2cm. Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng ΔBDEΔDCF

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho ΔABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 4cm, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 10cm. Kẻ đoạn thẳng MD.

a) Chứng tỏ rằng DM // AB.

b) Chứng minh ΔBACΔMDC.

c) Xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác MDC với diện tích tam giác ABC.

Xem lời giải >>