Đề bài

Một nhà mái vòm có mặt cát hình nửa elip cao 6 m, rộng 16 m.

a) Hãy chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.

b) Tính khoảng cách thẳng đứng từ một điểm cách chân vách 4 m lên trên mái vòm.

Phương pháp giải

Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Chọn hệ trục tọa độ có gốc là điểm chính giữa của chiều rộng mái vòm (thẳng đứng).

Gọi phương trình Elip là  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có: chiều cao của mái vòm là nửa trục nhỏ \( \Rightarrow b = 6\).

Độ rộng của mái vòm là độ dài trục lớn \( \Rightarrow 2a = 16 \Leftrightarrow a = 8\).

Vậy phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).

b) Gọi M là điểm cách chân vách 4 m, suy ra \({x_M} = 8 - 4 = 4\).

Khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm chính là \(\left| {{y_M}} \right|\).

M thuộc elip nên ta có: \(\frac{{16}}{{64}} + \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = 1 \Rightarrow \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \left| {{y_M}} \right| = \sqrt {36.\frac{3}{4}}  = 3\sqrt 3  \approx 5,2\left( m \right)\).

Vậy khoảng cách thẳng đứng từ điểm M lên đến mái vòm là 5,2 m.