Đề bài

Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cát là hình hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{30}} - \frac{{{y^2}}}{{50}} = 1\). Biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng \(\frac{1}{2}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Phương pháp giải

Phương trình Hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\) và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: O(0;0) là tâm đối xứng của hypebol.

\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là OA, khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là OB và \(OA = \frac{1}{2}OB\).

Mà chiều cao tháp là 120 m hay \(OA + OB = 120 \Rightarrow OA = 40\) (m); \(OB = 80\) (m).

Gọi r và R lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Lấy N là điểm trên nóc tháp, thuộc vào hypebol \( \Rightarrow N\left( {r;40} \right)\).

Tương tự, M là điểm ở đáy tháp, thuộc vào hypebol \( \Rightarrow M\left( {R; - 80} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(M\left( {R; - 80} \right)\), \(N\left( {r;40} \right)\) vào phương trình hypebol ta tính được:

\(R = 30\sqrt {1 + \frac{{{{\left( { - 80} \right)}^2}}}{{{{50}^2}}}}  \approx 57\left( m \right)\), \(r = 30\sqrt {1 + \frac{{{{40}^2}}}{{{{50}^2}}}}  \approx 38\left( m \right)\).

Vậy bán kính nóc là 38m, bán kính đáy là 57m.

Mở rộng

Hypebol:

1. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định \({F_1}\), \({F_2}\) với khoảng cách giữa chúng là ${F_1}{F_2} = 2c\left( {c > 0} \right)$.

Cho một hằng số a thỏa mãn điều kiện a < c.

Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho hiệu trị tuyệt đối các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định ${F_1}$, ${F_2}$ bằng một hằng số 2a. Kí hiệu là (H).

${F_1}$, ${F_2}$ được gọi là tiêu điểm của (H).

Khoảng cách ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của (H).

2. Phương trình chính tắc của hypebol

Khi chọn hệ trục tọa độ sao cho hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - c;0} \right)$ và ${F_2}\left( {c;0} \right)$, thì một điểm M(x;y) thuộc (H) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: @\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Trong đó ${b^2} = {c^2} - {a^2}$.

(Lưu ý từ định nghĩa (a < c), nên ${c^2} - {a^2} > 0$).

Phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

3. Hình dạng và tính chất của hypebol (H)

(Với phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$)

+ Tiêu điểm: ${F_1}\left( { - c;0} \right)$, ${F_2}\left( {c;0} \right)$.

+ Các đỉnh: ${A_1}\left( { - a;0} \right)$ và ${A_2}\left( {a;0} \right)$.

+ Trục: Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol.

+ Độ dài trục: Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh ${A_1}, {A_2}$ gọi là độ dài trục thực. Độ dài 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Nhánh hypebol: Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol.

+ Hình chữ nhật cơ sở: Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x = \pm a$, $y = \pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở.

+ Đường tiệm cận: Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là $y = \pm \dfrac{b}{a}x$.

+ Tâm sai: $e = \dfrac{c}{a} > 1$.

+ Khoảng cách từ điểm trên hypebol đến tiêu điểm: Đối với điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ thuộc (H), khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là: $M{F_1} = \left| {a + e{x_M}} \right| = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_M}} \right|$ và $M{F_2} = \left| {a - e{x_M}} \right| = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_M}} \right|$.