Đề bài

Cho $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng \(k > 0\). Gọi (O, R) và (O’, R’) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Gọi (I, r) và (I’, r’) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng \(\frac{R}{{R'}} = \frac{r}{{r'}} = k\).

Phương pháp giải

Chứng minh \(\widehat {BOC} = \widehat {B'O'C'}\), \(\widehat {CBO} = \widehat {C'B'O'}\), suy ra $\Delta BOC\backsim \Delta B'O'C'\left( g.g \right)$ nên \(\frac{R}{{R'}} = \frac{{OB}}{{O'B'}} = \frac{{OC}}{{O'C'}} = \frac{r}{{r'}} = k\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O) cùng chắn cung BC).

\(\widehat {B'O'C'} = 2\widehat {B'A'C'}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O’) cùng chắn cung B’C’).

Tam giác BOC và tam giác B’O’C’ ta có:

\(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\widehat {B'A'C'} = \widehat {B'O'C'}\);

\(\widehat {CBO} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {BOC}}}{2} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {B'O'C'}}}{2} = \widehat {C'B'O'}\)

Do đó, $\Delta BOC\backsim \Delta B'O'C'\left( g.g \right)$.

Suy ra: \(\frac{R}{{R'}} = \frac{{OB}}{{O'B'}} = \frac{{OC}}{{O'C'}} = \frac{r}{{r'}} = k\).