Đề bài

Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) với độ dài các cạnh bằng 5 m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm M trên đường chéo \(A{D_1}\) xuống một điểm N trên mặt đất BD đồng thời AM = DB. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa và ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, B thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy, \({A_1}\) thuộc tia Oz.

Đặt \(AM = DN = x\sqrt 2 \).

Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta tính được M(0;x;x) và N(x;5 – x;0).

Khi đó \(M{N^2} = {(x - 0)^2} + {(5 - x - x)^2} + {(0 - x)^2} = 6{x^2} - 20x + 25 = f(x)\).

\(f'(x) = 12x - 20 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}\).

Vậy dàn đèn có chiều dài ngắn nhất bằng \(f\left( {\frac{5}{3}} \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \approx 2,89\).