Đề bài

Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng 20 cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị \(c{m^2}\) và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn diện tích của mặt cắt ngang thông qua biến x. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số vừa lập với điều kiện của x.

Gọi mặt cắt ngang của tấm ván là hình chữ nhật ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Hình vuông có đường chéo dài 20 cm có độ dài cạnh là \(\frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \) cm.

Đặt MN = x (cm), \(OM = \frac{1}{2}.20\sqrt 2  = 10\sqrt 2 \) (cm).

Khi đó: \(ON = x + 10\sqrt 2 \)(cm).

\(NC = \sqrt {O{C^2} - O{N^2}}  = \sqrt {{{20}^2} - {{\left( {x + 10\sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\(= \sqrt { - {x^2} - 20\sqrt 2 x + 200} \).

\( \Rightarrow AB = 2NC = 2\sqrt { - {x^2} - 20\sqrt 2 x + 200} \) \((0 < x < 20 - 10\sqrt 2 )\).

Diện tích mặt cắt ngang hình chữ nhật của tấm ván là:

\(S = AB.MN = 2x\sqrt { - {x^2} - 20\sqrt 2 x + 200}\)

\(  = 2\sqrt { - {x^4} - 20\sqrt 2 {x^3} + 200{x^2}} \).

\(S' = \frac{{ - 4{x^3} - 60\sqrt 2 {x^2} + 400x}}{{\sqrt { - {x^4} - 20\sqrt 2 {x^3} + 200{x^2}} }}\);

\(S' = 0 \Leftrightarrow  - 4{x^3} - 60\sqrt 2 {x^2} + 400x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{ - 5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\).

Kết hợp ĐK, ta có \(x = \frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2}\) thỏa mãn.

Bảng biến thiên:

Vậy diện tích mặt cắt lớn nhất là \(S\left( {\frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2}} \right) \approx 67,3\) \((c{m^2})\).