Đề bài

Trong không gian Oxyz, một khinh khí cầu ở tọa độ A(-16;-10;10) bắt đầu bay với vecto vận tốc không đổi \(\overrightarrow v  = (4;3; - 1)\) (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu đặt ở vị trí gốc toạ độ O kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng 12 km. Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Biểu diễn tọa độ vị trí M của khinh khí cầu theo thời gian t. Tìm điều kiện của t sao cho khoảng cách OM nhỏ hơn hoặc bằng 12.

Ta có sau khoảng thời gian t (h) khinh khí cầu đang ở vị trí M thì toạ độ M được xác định bởi:

\(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - {x_A} = 4t\\{y_M} - {y_A} = 3t\\{z_M} - {z_A} =  - t\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 4t + {x_A} = 4t - 16\\{y_M} = 3t + {y_A} = 3t - 10\\{z_M} =  - t + {z_A} =  - t + 10\end{array} \right. \Rightarrow M(4t - 16;3t - 10; - t + 10)\)

Để hệ thống kiểm soát không lưu quan sát được khinh khí cầu ở vị trí M thì:

\(OM \le 12 \Leftrightarrow \sqrt {{{( - 16 + 4t)}^2} + {{( - 10 + 3t)}^2} + {{(10 - t)}^2}}  \le 12\)

\(\Leftrightarrow \sqrt {456 - 208t + 26{t^2}}  \le 12 \Leftrightarrow 2 \le t \le 6\).

Do đó hệ thống kiểm soát không lưu có thể quan sát khinh khí cầu trong khoảng thời gian 4 giờ hay 240 phút.