Cho hàm số \(y = f(x) = {e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}\).
a) f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
b) \(f'(x) = \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}\), \(\forall x \in [ - 4;4]\).
c) Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là \({e^{a + b\sqrt c }}\) (với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) và c là số nguyên tố). Khi đó a + 2b + 3c = 10.
d) \(f( - 4) = \frac{1}{{{e^4}}}\).
a) f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
b) \(f'(x) = \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}\), \(\forall x \in [ - 4;4]\).
c) Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là \({e^{a + b\sqrt c }}\) (với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) và c là số nguyên tố). Khi đó a + 2b + 3c = 10.
d) \(f( - 4) = \frac{1}{{{e^4}}}\).
Tính đạo hàm f’(x) của hàm số theo quy tắc đạo hàm hàm số hợp \(\left( {{e^u}} \right)' = u'.{e^u}\).
Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0.
a) Sai. \(f'(x) = \left( {x + \sqrt {16 - {x^2}} } \right)'{e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }} = \left( {1 + \frac{{\left( {16 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}\)
\( = \left( {1 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }} = \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}\) với \(16 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 4 < x < 4\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {16 - {x^2}} = x\\16 - {x^2} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 4 < x < 4\\2{x^2} - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\2{x^2} - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \).
Vậy phương trình f’(x) = 0 có một nghiệm.
b) Sai. \(f'(x) = \left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}} \right){e^{x + \sqrt {16 - {x^2}} }}\) với \(x \in ( - 4;4)\).
c) Đúng. \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [-4;4]; f’(x) = 0 có một nghiệm \(x = 2\sqrt 2 \) trên khoảng (-4;4).
\(f( - 4) = {e^{ - 4}}\); \(f(2\sqrt 2 ) = {e^{4\sqrt 2 }}\); \(f(4) = {e^4}\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{[ - 4;4]} f(x) = f( - 4) = {e^{ - 4}}\); \(\mathop {\max }\limits_{[ - 4;4]} f(x) = f(2\sqrt 2 ) = {e^{4\sqrt 2 }}\).
Ta có \({e^{ - 4}}.{e^{4\sqrt 2 }} = {e^{ - 4 + 4\sqrt 2 }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 4\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b + 3c = - 4 + 2.4 + 3.2 = 10\).
d) Đúng. \(f( - 4) = {e^{ - 4}} = \frac{1}{{{e^4}}}\).
Danh sách bình luận