Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục Oxy được mô phỏng như hình vẽ, trục Ox gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất y = f (x) có đường tiệm cận đứng là x = 2. Điểm G là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm y = f (x) và trục Ox được gọi là điểm giới hạn. Biết rằng máy bay xuất phát tại vị trí A cách gốc toạ độ O một khoảng 2,5 đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát 1,5 đơn vị theo phương song song với trục Ox và cách mặt đất 4,5 đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Dựa vào các điểm đồ thị đi qua và điểm cực trị, tìm phương trình của đồ thị biểu diễn đường bay.
Từ đó, tìm tọa độ giao điểm C với trục Ox, phương trình đường tiệm cận xiên và tọa độ điểm G là giao điểm của tiệm cận xiên với trục Ox.
Tính khoảng cách CG.
Đường bay là một phần của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất: \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x - 2}}\) (do tiệm cận đứng là x = 2).
Theo đề bài: A(2,5;0), B(4;4,5).
Vì A thuộc đồ thị hàm số nên ta có \(\frac{{a.2,{5^2} + b.2,5 + c}}{{2,5 - 2}} = 0 \Leftrightarrow 6,25a + 2,5b + c = 0\) (1).
Vì B thuộc đồ thị hàm số nên ta có \(\frac{{a{{.4}^2} + b.4 + c}}{{4 - 2}} = 4,5 \Leftrightarrow 16a + 4b + c = 9\) (2).
\(y' = \frac{{(2ax + b)(x - 2) - (a{x^2} + bx + c).1}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{a{x^2} - 4ax - 2b - c}}{{{{(x - 2)}^2}}}\).
Điểm B là một cực trị của đồ thị hàm số nên \(\frac{{a{{.4}^2} - 4a.4 - 2b - c}}{{{{(4 - 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2b + c = 0\) (3).
Giải hệ các phương trình (1), (2), (3), ta được a = -1; b = 12,5; c = -25.
Suy ra \(y = f(x) = \frac{{ - {x^2} + 12,5x - 25}}{{x - 2}} = - x + 10,5 - \frac{4}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f(x) - ( - x + 10,5)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ { - x + 10,5 + \frac{4}{{x - 2}} - ( - x + 10,5)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0\).
Vậy y = -x + 10,5 là tiệm cận xiên.
Phương trình hoành độ giao điểm của tiệm cận xiên và trục Ox là \( - x + 10,5 = 0 \Leftrightarrow x = 10,5\).
Vậy G(10,5;0).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) với trục Ox là \(\frac{{ - {x^2} + 12,5x - 25}}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2,5\\x = 10\end{array} \right.\).
Vậy A(2,5;0), C(10;0).
\(CG = {x_G} - {x_C} = 10,5 - 10 = 0,5\).
Vậy vị trí máy bay tiếp đất tại C cách điểm giới hạn G một khoảng bằng 0,5.
Danh sách bình luận