Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số \(y = f(x) = - 0,1{x^3} + 0,9{x^2} - 1,5x + 5,6\). Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100m.
a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 600m.
b) Trên đường đi dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất.
c) Khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện là 490 m.
d) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y = −1,5x + 18. Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Biết toạ độ của điểm để xây bến thuyền này là M(a;b). Giá trị a + 5b bằng 43.
a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 600m.
b) Trên đường đi dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox, điểm cách gốc O một đoạn 500m có khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối điện là lớn nhất.
c) Khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện là 490 m.
d) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y = −1,5x + 18. Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Biết toạ độ của điểm để xây bến thuyền này là M(a;b). Giá trị a + 5b bằng 43.
a) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và trục hoành.
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng hoặc đoạn phù hợp.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng hoặc đoạn phù hợp.
d) Áp dụng công thức tính khoảng cách và ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất.
a) Sai. Hoành độ giao điểm của f(x) và trục Ox là nghiệm của phương trình:
\( - 0,1{x^3} + 0,9{x^2} - 1,5x + 5,6 = 0 \Leftrightarrow x = 8\).
Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 800m.
b) Đúng. \(f'(x) = - 0,3{x^2} + 1,8x - 1,5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\).
Vậy điểm cách O một đoạn 500m có khoảng cách theo phương thẳng dứng đến bờ hồ đối diện là lớn nhất và bằng 810m.
c) Đúng. Khoảng cách nhỏ nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ đến bờ hồ đối diện là f(1) = 490m.
d) Đúng. Gọi \(M(a;b) \in f(x)\) với \(0 \le x \le 8\). Khi đó \(M(a; - 0,1{a^3} + 0,9{a^2} - 1,5a + 5,6)\).
Đặt \(\Delta :y = - 1,5 + 18 \Leftrightarrow 1,5x + y - 18 = 0\).
\(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {1,5a + \left( { - 0,1{a^3} + 0,9{a^2} - 1,5a + 5,6} \right) + 18} \right|}}{{\sqrt {1,{5^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\left| { - 0,1{a^3} + 0,9{a^2} + 12,4} \right|\).
Xét hàm \(f(a) = - 0,1{a^3} + 0,9{a^2} + 12,4\) với \(0 \le x \le 8\).
\(f'(a) = - 0,3{x^2} + 1,8a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 6\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Với \(0 \le x \le 8\) thì \( - 12,4 \le f(a) \le - 1,6\) suy ra \(1,6 \le \left| {f(a)} \right| \le 12,4\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của |f(a)| khi \(0 \le x \le 8\) là |f(6)| = 1,6.
Suy ra \(\min d(M,\Delta ) = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}.1,6 = \frac{{16\sqrt {13} }}{{65}}\) khi a = 6. Khi đó M(6;7,4).
Vậy a + 5b = 6 + 5.7,4 = 43.
Danh sách bình luận