Cho tam giác ABC có ˆA=90∘, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.
- Chứng minh ΔMBA=ΔMCN(g−c−g)
Suy ra: AB = CN và AM = MN
- Chứng minh: ΔBAC=ΔNCA từ đó chứng minh được BC = 2AM
Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, d cắt AM tại N.
Suy ra ^ABC=^BCN (hai góc so le trong).
Ta có BA ⊥ AC, d // AB.
Suy ra d ⊥ AC hay ^NCA=90∘
Xét ∆MBA và ∆MCN có:
BM = CM (vì M là trung điểm của BC),
ˆM1=ˆM2 (hai góc đối đỉnh),
^ABC=^NCB (chứng minh trên)
Do đó ∆MBA = ∆MCN (g.c.g).
Suy ra AB = CN và AM = NM (các cặp cạnh tương ứng).
Xét ∆BAC và ∆NCA có:
AC là cạnh chung,
^BAC=^NCA (cùng bằng 90o),
AB = NC (chứng minh trên)
Do đó ∆BAC = ∆NCA (c.g.c)
Suy ra BC = NA (hai cạnh tương ứng).
Mà AM = MN, AN = AM + MN = 2AM.
Nên BC = AN = 2AM.
Vậy 2AM = BC.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho Hình 4.20, biết AB=CB,AD=CD,^DAB=90∘,^BDC=30∘
a) Chứng minh rằng ΔABD=ΔCBD.
b) Tính ^ABC.
Cho Hình 4.25, biết ^DAC=60∘,AB=AC,DB=DC. Hãy tính ^DAB.
Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho ^CAO=^CBO.
a) Chứng minh rằng ΔOAC=ΔOBC.
b) Lấy điểm M trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng ΔMAC=ΔMBC.
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh: AD = BC.
b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, ^BAE=^DCE. Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) ΔACD=ΔCAB
c) AD song song với BC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, ^ADE=^BCE. Chứng minh rằng:
a) ^DAC=^CBD
b) ΔAED=ΔBEC.
c) AB//DC
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (h.4.28)
a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng
AM = DN.
b) Trên hai cạnh AC và DF lấy 2 điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng
BP = EQ.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ΔABC=ΔDEF
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như hình vẽ.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.
b) Chứng minh rằng ΔDAB=ΔBCD.
Cho hình vẽ dưới đây. Biết đường thẳng AD song song với đường thẳng BC, AD = BC. Chứng minh rằng AB song song với CD.
Cho năm điểm A, B,C,D,O như hình vẽ. Biết rằng OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh rằng AC=BD.
b) Chứng minh rằng ΔACD=ΔBDC
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?
Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.
a) ΔABE=?
b) ΔEAB=?
c) ?=ΔCDE
Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) ΔEAB=ΔECD
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
Cho góc bẹt xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy hai điểm A,B (A nằm giữa O và B). Lấy điểm C∈Ox sao cho OC=OB, lấy điểm D∈Oy sao cho OD=OA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BD.
Tính các góc của tam giác MON.
Cho ΔABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Gọi N là trung điểm của AB, trên tia đối của NC lấy điểm K sao cho NK=NC. Chứng minh rằng:
a) ΔABM=ΔACM.
b) AM⊥BC.
c) AK=2.MB.
d) KA⊥AM.
Các cặp tam giác trong Hình 16 có bằng nhau không? Nếu có, chúng bằng nhau theo trường hợp nào?
Cho 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường thẳng d sao cho AB = DE, BC = CD. Điểm M không thuộc d sao cho MC vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a)ΔMBC=ΔMDC,ΔMAC=ΔMEC
b)ΔMAB=ΔMED
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM=DC.
a) Chứng minh rằng ΔADM=ΔBDC. Từ đó suy ra AM=BC và AM//BC.
b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN=EB. Chứng minh rằng AN//BC.
c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của ^BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng ΔBKM=ΔCKN từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của ^BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng ΔBKM=ΔCKN từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
