Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 22a, 22b, 22c, 22d là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
a) ∆MAB = ∆MEC (Hình 22a).
b) ∆BAC = ∆DAC (Hình 22b).
c) ∆CAB = ∆DBA (Hình 22c).
d) ∆KDE = ∆NMP (Hình 22d).
Quan sát các hình để thêm các điều kiện để hai tam giác bằng nhau trong trường hợp: cạnh – góc – cạnh.
a) Hình a:
Để ΔMAB = ΔMEC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà tam giác này có \(\widehat {AMB} = \widehat {CME}\) (hai góc đối đỉnh) và MB = MC.
Mặt khác ˆAMBAMB^ là góc xen giữa hai cạnh MA và MB, \(\widehat {CME}\) là góc xen giữa hai cạnh MC và ME.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là MA = ME.
Vậy Hình 22a cần thêm điều kiện MA = ME.
b) Hình b
Để ΔBAC = ΔDAC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà hai tam giác này có cạnh AC là cạnh chung, AB = AD.
Mặt khác \(\widehat {BAC}\) là góc xen giữa hai cạnh AB và AC, \(\widehat {DAC}\) là góc xen giữa hai cạnh AD và AC.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về góc, đó là \(\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\).
Vậy Hình 22b cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = \widehat {DAC}\).
c) Hình c
Để ∆CAB = ∆DBA theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà hai tam giác này có AB là cạnh chung, \(\widehat {BAC} = \widehat {ABD} = 90^\circ \).
Mặt khác ˆBACBAC^ là góc xen giữa hai cạnh AB và AC, \(\widehat {ABD}\) là góc xen giữa hai cạnh BD và BA.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là AC = BD.
Vậy Hình 22c cần thêm điều kiện AC = BD.
d) Hình d
Xét ∆KDE có: \(\hat K + \hat D + \hat E = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra \(\hat D = 180^\circ - \hat K - \hat E = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ \)
Để ∆KDE = ∆NMP theo trường hợp cạnh – góc – cạnh thì điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen giữa hai cạnh.
Mà DK = NM, \(\hat D = \hat M\) (cùng bằng 60°).
Mặt khác \(\hat D\) là góc xen giữa hai cạnh DK và DE, \(\hat M\) là góc xen kẽ giữa hai cạnh MN và MP.
Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là DE = MP.
Vậy Hình 2d cần thêm điều kiện DE = MP.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho tam giác \(BAC\) và tam giác \(KEF\) có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) Phát biểu nào trong trong các phát biểu sau đây là đúng:
-
A.
\(\Delta BAC = \Delta EKF\)
-
B.
\(\Delta BAC = \Delta EFK\)
-
C.
\(\Delta {\rm A}BC = \Delta FKE\)
-
D.
\(\Delta BAC = \Delta KEF\)
Bài 2 :
Vẽ \(\widehat {xAy}\) = 60°. Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: AB = 4 cm, AC = 3 cm. Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27)
Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.
Bài 3 :
Vẽ thêm tam giác A’B’C’ với \(\widehat {B'A'C'}\)= 60°, A’B’ = 4 cm và A'C'= 3 cm (H.4.28).
Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và ABC.
- Hai tam giác ABC và ABC có bằng nhau không?
- Độ dài các cạnh AB và AB của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh AB và AB của hai tam giác các bạn khác về không?
- Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?
Bài 4 :
Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?
Bài 5 :
Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?
Bài 6 :
Cho Hình 4.32, biết \(\widehat {OAB} = \widehat {ODC},OA = OD\) và \(AB = CD\).
Chứng minh rằng:
a) \(AC = DB\);
b) \(\Delta OAC = \Delta ODB\).
Bài 7 :
Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
Bài 8 :
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau;
b) Chứng minh rằng \(\Delta \)DAB = \(\Delta \)BCD.
Bài 9 :
Cho Hình 4.44, biết \(EC = ED\) và \(\widehat {AEC} = \widehat {AED}\). Chứng minh rằng:
a) \(\Delta AEC = \Delta AED\)
b) \(\Delta ABC = \Delta ABD.\)
Bài 10 :
Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, M; trên tia Oy lấy hai điểm B, N sao cho OA = OB, OM =ON, OA > OM.
Chứng minh rằng:
a) \(\Delta \)OAN = \(\Delta \)OBM;
b) \(\Delta \)AMN = \(\Delta \)BNM.
Bài 11 :
Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, \(\widehat {BAN} = \widehat {ABM}\). Chứng minh rằng \(\widehat {BAM} = \widehat {ABN}\).
Bài 12 :
Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
Bài 13 :
Cho 2 tam giác ABC và DEF bất kì, thoả mãn AB = FE, BC = DF, \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\). Những câu nào dưới đây đúng?
a) \(\Delta ABC = \Delta DFE\)
b) \(\Delta BAC = \Delta EFD\)
c) \(\Delta CBA = \Delta EFD\)
d) \(\Delta ABC = \Delta EFD\)
Bài 14 :
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và \(\widehat {DBA} = \widehat {CAB}\). Chứng minh rằng AD = BC.
Bài 15 :
Hai tam giác ABC và MNP bằng nhau khi và chỉ khi điều nào dưới đây xảy ra?
A. AB = MN,AC = MP, \(\widehat A = \widehat M\)
B. AB = MN, AC = MP, \(\widehat B = \widehat N\)
C. AB = MP, AC = MN,\(\widehat A = \widehat M\)
D. AB = AC, MN = MP,\(\widehat A = \widehat M.\)
Bài 16 :
Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
Bài 17 :
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF. Trên các cạnh AC và DF lấy các điểm X, Y sao cho AX = DY . Chứng minh rằng \(\widehat {BXC} = \widehat {EYF}\)
Bài 18 :
Cho hai tam giác ABC và DEF thỏa mãn AB = DE, AC = DF, \(\widehat A = \widehat D = {60^o}\), BC = 6cm, \(\widehat {ABC} = {45^o}\). Hãy tính độ dài cạnh EF và số đo các góc C, E, F.
Bài 19 :
Cho năm điểm A, B, C, D, E thỏa mãn EC = ED và \(\widehat {AEC} = \widehat {AED}\) như hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta AEC = \Delta AED\)
b) \(\Delta ABC = \Delta ABD\)
Bài 20 :
Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.
Bài 21 :
Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, M, trên tia Oy lấy hai điểm B, N sao cho OA = OB, OM = ON, OA > OM.Chứng minh rằng:
a) \(\Delta OAN = \Delta OBM\)
b) \(\Delta AMN = \Delta BNM\)
Bài 22 :
Trong hình sau, ta có AM = BN, \(\widehat {BAN} = \widehat {ABM}\). Chứng minh rằng \(\widehat {BAM} = \widehat {ABN}\).
Bài 23 :
Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A’B’C’có \(\widehat {B'} = \widehat B\), B’A’ = BA, B’C’ = BC theo các bước:
- Vẽ \(\widehat {xB'y} = \widehat {ABC}\)
- Trên tia B’x lấy đoạn B’A’= BA.
- Trên tia B’y lấy đoạn B’C’ = BC.
-Vẽ đoạn A’C’, ta được tam giác A’B’C’(Hình 8b)
Em hãy cắt rời tam giác A’B’C’ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A’B’C’lên tam giác ABC hay không.
Theo em, hai tam giác ABC và A’B’C’ trong trường hợp này có bằng nhau hay không?
Bài 24 :
Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a,b) bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Bài 25 :
Cho tam giác FGH có FG = FH. Lấy điểm I trên cạnh GH sao cho FI là tia phân giác của \(\widehat {GFH}\). Chứng minh rằng hai tam giác FIG và FIH bằng nhau.
Bài 26 :
Cho hình vẽ
Hai tam giác trên bằng nhau theo trường hợp
-
A.
Cạnh – góc – góc;
-
B.
Cạnh – góc – cạnh;
-
C.
Góc – cạnh – góc;
-
D.
Cả A, B, C đều đúng.
Bài 27 :
Hai chiếc compa ở Hình 45 gợi nên hình ảnh hai tam giác ABC và A’B’C’ có: AB = A’B’, AC = A’C’, \(\widehat A = \widehat {A'}\).
Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau hay không?
Bài 28 :
Cho góc nhọn xOy. Hai điểm M, N thuộc tia Ox thỏa mãn OM = 2 cm, ON = 3 cm. Hai điểm P, Q thuộc tia Oy thỏa mãn OP = 2 cm, OQ = 3 cm. Chứng minh MQ = NP.
Bài 29 :
Cho góc xOy có Oz là tia phân giác. Hai điểm M, N lần lượt thuộc Ox, Oy và khác O thỏa mãn OM = ON, điểm P khác O và thuộc Oz. Chứng minh MP = NP.
Bài 30 :
Chứng minh định lí: “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” (trang 74) thông qua việc giải bài tập sua đây:
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Điểm E thuộc cạnh AC thỏa mãn AE = AB. Chứng minh:
a) \(\Delta ABD = \Delta AED\); b) \(\widehat B > \widehat C\).
