Đề bài

Cho \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\). Biết giá trị của biểu thức \(\frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}\) có dạng \(\frac{a}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{N}\); \(b \ne 0\), \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức T = 100a + b.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(\cos \alpha \).

Vì \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\) nên \(\cos \alpha \ne 0\).

\(P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }} = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13\).

Vậy T = 100.13 + 1 = 1301.

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho góc α, giá trị của biểu thức dưới đây bằng:\(\cos \alpha + \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha + \frac{{9\pi }}{5}} \right)\)

A.
\(\frac{3}{2}\)
B.
\(\frac{4}{5}\)
C.
\(0\)
D.
\( - 1\)

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Xét các mệnh đề sau:

I. \(\cos (\frac{\pi }{2} - \alpha )>0\).

II. \(\sin (\frac{\pi }{2} - \alpha )>0\).

III. \(\tan (\frac{\pi }{2} - \alpha )>0\).

Mệnh đề nào sai?

A.
Chỉ I
B.
Chỉ II
C.
Chỉ II và III
D.
Cả I, II và III

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\cos \alpha \).

A.
\(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\).
B.
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C.
\(\cos \alpha = \frac{{ \pm \sqrt 3 }}{2}\).
D.
Cả A, B, C đều sai.

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

\(B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}\)

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Tính: a) \(\sin ( - {675^ \circ })\) b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4}\)

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa \(\cos ( - \alpha )\) và \(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)và \(\sin \alpha \)

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: \(\tan ( - \alpha )\) và \(\tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\) và \(\cot \alpha \)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)

Xem lời giải >>

Bài 8 :

a) Dựa vào định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \) hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \)

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của \(\tan \alpha \), hãy tính \(1 + {\tan ^2}\alpha \)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

B. \(\cos \left( {\pi - a} \right) = \cos \alpha \)

C. \(\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha \).

D. \(\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha \)

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho góc lượng giác \(\alpha \)sao cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\). Tìm \(\cos \alpha \)

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho góc lượng giác \(\alpha \). So sánh

a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\) và 1

b) \(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\) và 1 với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)

c) \(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\) và \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)

d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \,\) và \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

b) \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) với \( - \pi < \alpha < 0\)

c) \(\tan \alpha = 3\) với \( - \pi < \alpha < 0\)

d) \(\cot \alpha = - 2\) với \(0 < \alpha < \pi \)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính \(\cos \alpha \) và \(\sin \alpha \)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)

b) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được đẳng thức nào?

c) Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho \({\sin ^2}\alpha \) ta được đẳng thức nào?

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha = - \frac{4}{5}\)

b) \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\)

c) \(\tan \alpha = 3\) và \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\)

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a) \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

b) \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\) và \(0 < \alpha < 90^\circ \)

c) \(\tan \alpha = \sqrt 3 \) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)

d) \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\) và \(270^\circ < \alpha < 360^\circ \)

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \({\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \)

b) \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \(\cos \alpha \) là?

A.

\(\cos \alpha = \frac{2}{3}\)
B.

\(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
C.

\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
D.

\(\cos \alpha = \frac{3}{2}\)

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khi đó

a) \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

b) \(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

d) \(\cot \alpha = - 2\sqrt 2 \)

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của \(\sin \alpha \) là?

A.

\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
B.

\(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
C.

\(\sin \alpha = \frac{{15}}{{16}}\)
D.

\(\sin \alpha = - \frac{{15}}{{16}}\)

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó

a) \({\sin ^2}\alpha = \frac{{15}}{{16}}\)

b) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

c) \(\tan \alpha = \sqrt {15} \)

d) \(\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Đơn giản biểu thức \(A = \cos \left( {\frac{{9\pi }}{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right)\) ta được

A.

\(A = \cos \alpha + \sin \alpha \)
B.

\(A = 2\sin \alpha \)
C.

\(A = \sin \alpha \cos \alpha \)
D.

\(A = 0\)

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha \) là

A.

\(P = 1\)
B.

\(P = 2\)
C.

\(P = 3\)
D.

\(P = 4\)

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.

$ - 1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1;\,\, - 1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1$
B.

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\,\,(\cos \alpha \ne 0)$
C.

$\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\,\,(\sin \alpha \ne 0)$
D.

${\sin ^2}\left( {2024\alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {2024\alpha } \right) = 2024$

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho \(\cos x = - \frac{5}{{13}}\,\,({90^o} < x < {180^o})\). Tính các giá trị lượng giác còn lại.

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho \(\sin a + \cos a = m\). Hãy tính theo m.

a) \(\sin a\cos a\)

b) \({\sin ^3}a + {\cos ^3}a\)

c) \({\sin ^4}a + {\cos ^4}a\).

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x - 1\);

b) \({\tan ^2}x - {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x\);

c) \({(\sin x + \cos x)^2} + {(\sin x - \cos x)^2} = 2\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Rút gọn biểu thức \(A = 2{\cos ^4}x - {\sin ^4}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) \(\tan x\cot x = 1\);

b) \(1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);

c) \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\);

d) \(\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).

B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).

C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).

D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).

Xem lời giải >>