Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;-1;2), B(-2;0;3), C(0;1;-2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức T = 12a + 12b + c.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, tích vô hướng của hai vecto. Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất.

Vì \(M(a;b;c) \in (Oxy)\) nên M(a;b;0).

\(\overrightarrow {MA}  = (1 - a; - 1 - b;2)\); \(\overrightarrow {MB}  = ( - 2 - a; - b;3)\); \(\overrightarrow {MC}  = ( - a; - b; - 2)\).

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = (1 - a)( - 2 - a) + ( - 1 - b)( - b) + 6 = {a^2} + a + {b^2} + b + 4\).

\(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  = ( - 2 - a)( - a) + ( - b)( - 1 - b) - 6 = {a^2} + 2a + {b^2} - b - 6\).

\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}  = ( - a)(1 - a) + (1 - b)( - 1 - b) - 4 = {a^2} - a + {b^2} - 5\).

\(S = {a^2} + a + {b^2} + b + 4 + 2\left( {{a^2} + 2a + {b^2} - b - 6} \right) + 3\left( {{a^2} - a + {b^2} - 5} \right) = 6{a^2} + 2a + 6{b^2} - b - 23\)

\( = 6{\left( {a + \frac{1}{6}} \right)^2} + 6{\left( {b - \frac{1}{{12}}} \right)^2} - \frac{{557}}{{24}} \ge  - \frac{{557}}{{24}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a =  - \frac{1}{6}\) và \(b = \frac{1}{{12}}\).

Khi đó \(T = 12a + 12b + c = 12.\left( { - \frac{1}{6}} \right) + 12.\frac{1}{{12}} + 0 =  - 1\).