Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm O(0;0;0) thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm A(896;2025;189) thuộc trụ thứ hai với tốc độ là 7,4 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục là mét).
a) Điểm chính giữa của đường cáp có tọa độ là (448;1210,5;94,5).
b) Có một khu vui chơi phía dưới cáp treo nằm trong mặt phẳng (Oxy) với điểm trung tâm có tọa độ
(750,5;1497,25;0). Biết rằng từ trong cabin cáp treo có thể ngắm nhìn toàn cảnh khu vui chơi rõ nhất tại vị trí điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) cách trung tâm khu vui chơi một khoảng ngắn nhất. Khi đó ta có \({x_0} + {y_0} + {z_0} \approx 2332,5\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
c) Trên đường cáp có điểm B với hoành độ \({x_B} = 672\), khi đó thời gian để cabin đi từ điểm B đến điểm A xấp xỉ là 70 giây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Độ dài đường cáp xấp xỉ bằng 2220 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Điểm chính giữa của đường cáp có tọa độ là (448;1210,5;94,5).
b) Có một khu vui chơi phía dưới cáp treo nằm trong mặt phẳng (Oxy) với điểm trung tâm có tọa độ
(750,5;1497,25;0). Biết rằng từ trong cabin cáp treo có thể ngắm nhìn toàn cảnh khu vui chơi rõ nhất tại vị trí điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) cách trung tâm khu vui chơi một khoảng ngắn nhất. Khi đó ta có \({x_0} + {y_0} + {z_0} \approx 2332,5\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
c) Trên đường cáp có điểm B với hoành độ \({x_B} = 672\), khi đó thời gian để cabin đi từ điểm B đến điểm A xấp xỉ là 70 giây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
d) Độ dài đường cáp xấp xỉ bằng 2220 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm.
b) Ứng dụng điều kiện của hai vecto cùng phương và tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách ứng dụng đạo hàm.
c) Ứng dụng điều kiện của hai vecto cùng phương, tìm độ dài quãng đường, từ đó tính được thời gian.
d) Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.
a) Đúng. Gọi điểm chính giữa đường cáp là I, khi đó I là trung điểm của OA.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_O} + {x_A}}}{2} = \frac{{0 + 896}}{2} = 448\\{y_I} = \frac{{{y_O} + {y_A}}}{2} = \frac{{0 + 2025}}{2} = 1012,5\\{z_I} = \frac{{{z_O} + {z_A}}}{2} = \frac{{0 + 189}}{2} = 94,5\end{array} \right.\), suy ra I(448; 1012,5; 94,5).
b) Đúng. Gọi vị trí khu vui chơi là B(750,5; 1497,25; 0).
\(\overrightarrow {OA} = (896;2025;189)\).
Vì \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) thuộc đường cáp nên \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 896k\\{y_0} = 2025k\\{z_0} = 189k\end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).
\(\overrightarrow {BM} = ({x_0} - 750,5;{y_0} - 1497,25;{z_0})\).
\(\left| {\overrightarrow {BM} } \right| = \sqrt {{{({x_0} - 750,5)}^2} + {{({y_0} - 1497,25)}^2} + {z_0}^2} \)
\( = \sqrt {{{(896k - 750,5)}^2} + {{(2025k - 1497,25)}^2} + {{(189k)}^2}} \)
\(B{M^2} = 4939162{k^2} + 7408758,5k + 280007,813\).
Cabin cách khu vui chơi một khoảng ngắn nhất khi BM ngắn nhất, hay \(B{M^2}\) ngắn nhất.
Cần tìm k để \(B{M^2}\) ngắn nhất. Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(k) = 4939162{k^2} + 7408758,5k + 280007,813\).
\(f'(k) = 9878324k + 7408758,5 = 0 \Leftrightarrow k \approx 0,75\).
Vì f(k) là hàm số bậc hai có đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên giá trị nhỏ nhất của f(k) là giá trị tại điểm cực trị của hàm số f(k), tức \(k \approx 0,75\).
Vậy \({x_0} + {y_0} + {z_0} = 896.0,75 + 2025.0,75 + 189.0,75 \approx 2332,5\).
c) Sai. Điểm B thuộc đường cáp nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 896k' = 672\\{y_B} = 2025k'\\{z_B} = 189k'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k' = 0,75\\{y_B} = 1518,75\\{z_B} = 141,75\end{array} \right.\).
Vậy B(672; 1518,75; 141,75).
\(AB = \sqrt {{{(672 - 896)}^2} + {{(1518,75 - 2025)}^2} + {{(141,75 - 189)}^2}} \approx 555,6\) (m).
Thời gian để đi từ B đến A là \(\frac{{AB}}{v} = \frac{{555,6}}{{7,4}} \approx 75\) (giây).
d) Sai. Độ dài đường cáp là \(OA = \sqrt {{{896}^2} + {{2025}^2} + {{189}^2}} \approx 2222\) (m).
Danh sách bình luận