Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + 4x - 1 = 0\)

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}\).

 

Phương pháp giải

a) Kiểm tra nghiệm của phương trình theo \(a.c\).

b) Áp dụng định lí Viète và biến đổi.

Định lí Viète: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Phương trình \({x^2} + x - 1 = 0\) có \(a.c = 1.\left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Áp dụng định lí Viète, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 4}}{1} =  - 4}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 1}}{1} =  - 1}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}\\ = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}.{x_2}}} + \frac{5}{2}\\ = \frac{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} + \frac{5}{2}\\ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} + \frac{5}{2}\\ = \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2} - 2.\left( { - 1} \right)}}{{ - 1}} + \frac{5}{2}\\ = \frac{{16 + 2}}{{ - 1}} + \frac{5}{2}\\ =  - 18 + \frac{5}{2} =  - \frac{{31}}{2}\end{array}\)

Vậy \(A =  - \frac{{31}}{2}\).