Đề bài

Một kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông với mỗi cạnh dài 120 m. Phần sân chơi nằm ở giữa, và phần còn lại để trồng cây xanh. Các đường biên của khu vực trồng cây xanh là các đoạn parabol, với đỉnh của parabol nằm cách trung điểm của mỗi cạnh hình vuông 25 m. Tính diện tích phần trồng cây xanh.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, từ đó tìm ra hàm số có đồ thị giới hạn phần diện tích cần tìm. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Giả sử parabol (P) có bề lõm hướng xuống dưới có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

(P) đi qua ba điểm (0;25), (-60;0) và (60;0)  nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}25 = a{.0^2} + b.0 + c\\0 = a{.60^2} + b.60 + c\\0 = a.{( - 60)^2} + b.( - 60) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{144}}\\b = 0\\c = 25\end{array} \right.\).

Vậy (P): \(y =  - \frac{1}{{144}}{x^2} + 25\).

Với \( - 60 \le x \le 60\) thì \(y =  - \frac{1}{{144}}{x^2} + 25 \ge 0\).

Khi đó \(\left| { - \frac{1}{{144}}{x^2} + 25} \right| =  - \frac{1}{{144}}{x^2} + 25\).

Diện tích của phần trồng cây xanh là:

\(2\int\limits_{ - 60}^{60} {\left| { - \frac{1}{{144}}{x^2} + 25} \right|dx}  = 2\int\limits_{ - 60}^{60} {\left( { - \frac{1}{{144}}{x^2} + 25} \right)dx}  = 4000\) \(({m^2})\).