Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot (ABCD)\), đáy ABCD là hình chữ nhật và AD = 6. Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy bằng \({30^o}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Tìm đoạn vuông góc chung của AB và SD và tính độ dài đoạn thẳng đó.

Trong mặt phẳng (SAD), kẻ \(AH \bot SD = \{ H\} \).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB\\AD \bot AB\end{array} \right.\) suy ra \(AB \bot (SAD)\), mà \(AH \subset (SAD)\) nên \(AB \bot AH\).

Khi đó, AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD.

Xét tam giác SAD vuông tại A, có

\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} \Leftrightarrow SA = AD\tan \widehat {SDA} = 6\tan {30^o} = 2\sqrt 3 \).

Xét tam giác SAD vuông tại A có đường cao AH:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 .6}}{{\sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {6^2}} }} = 3\).