Đề bài

Chứng tỏ rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\) thì \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải

Hai số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

Giả sử ƯCLN(2n+1;3n+1) = d (d \( \in \mathbb{N}\)).

Chứng minh d = 1 nên \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi ƯCLN(2n+1;3n+1) = d (d \( \in \mathbb{N}\)).

Suy ra \(2n + 1 \vdots d\); \(3n + 1 \vdots d\).

Do đó \(3\left( {2n + 1} \right) \vdots d\); \(2\left( {3n + 1} \right) \vdots d\)

hay \(6n + 3 \vdots d\); \(6n + 2 \vdots d\)

Suy ra \(\left( {6n + 3} \right) - \left( {6n + 2} \right) \vdots d\) hay \(1 \vdots d\) suy ra d \( \in \) Ư(1) = {1; -1}

Mà \(d \in \mathbb{N}\) nên d = 1.

Do đó ƯCLN(2n+1;3n+1) = 1

Vậy \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.